Theorem ply1mulgsumlem3 42176

Description: Lemma 3 for ply1mulgsum 42178. (Contributed by AV, 20-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1mulgsum.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1mulgsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1mulgsum.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐾)
ply1mulgsum.c	⊢ 𝐶 = (coe1‘𝐿)
ply1mulgsum.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
ply1mulgsum.pm	⊢ × = (.r‘𝑃)
ply1mulgsum.sm	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
ply1mulgsum.rm	⊢ ∗ = (.r‘𝑅)
ply1mulgsum.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
ply1mulgsum.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
ply1mulgsumlem3	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)))))) finSupp (0g‘𝑅))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑙   𝐵,𝑙   𝐶,𝑙   𝐾,𝑙   𝐿,𝑙   𝑅,𝑙   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐾   𝑘,𝐿   𝑅,𝑘   ∗ ,𝑘   𝑘,𝑙

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑘,𝑙)   · (𝑘,𝑙)   × (𝑘,𝑙)   ↑ (𝑘,𝑙)   ∗ (𝑙)   𝑀(𝑘,𝑙)   𝑋(𝑘,𝑙)

Proof of Theorem ply1mulgsumlem3

Dummy variables 𝑛 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6203	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑅) ∈ V)
2		ovexd 6680	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) ∈ V)
3		ply1mulgsum.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		ply1mulgsum.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5		ply1mulgsum.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐾)
6		ply1mulgsum.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (coe1‘𝐿)
7		ply1mulgsum.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
8		ply1mulgsum.pm	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑃)
9		ply1mulgsum.sm	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
10		ply1mulgsum.rm	. . . 4 ⊢ ∗ = (.r‘𝑅)
11		ply1mulgsum.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
12		ply1mulgsum.e	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
13	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	ply1mulgsumlem2 42175	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))) = (0g‘𝑅)))
14		vex 3203	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑛 ∈ V
15		csbov2g 6691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ V → ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) = (𝑅 Σg ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))))
16		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ V → 𝑛 ∈ V)
17		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (0...𝑘) = (0...𝑛))
18		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 − 𝑙) = (𝑛 − 𝑙))
19	18	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)) = (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)))
20	19	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))) = ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))
21	17, 20	mpteq12dv 4733	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)))))
22	21	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ V ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)))))
23	16, 22	csbied 3560	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ V → ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)))))
24	23	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ V → (𝑅 Σg ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))))
25	15, 24	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ V → ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))))
26	14, 25	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)))))
27		simpr 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))) = (0g‘𝑅)) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))) = (0g‘𝑅))
28	26, 27	syl5eq 2668	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))) = (0g‘𝑅)) → ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) = (0g‘𝑅))
29	28	ex 450	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))) = (0g‘𝑅) → ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) = (0g‘𝑅)))
30	29	imim2d 57	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑛 → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))) = (0g‘𝑅)) → (𝑠 < 𝑛 → ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) = (0g‘𝑅))))
31	30	ralimdva 2962	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) → (∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))) = (0g‘𝑅)) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) = (0g‘𝑅))))
32	31	reximdva 3017	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))) = (0g‘𝑅)) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) = (0g‘𝑅))))
33	13, 32	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) = (0g‘𝑅)))
34	1, 2, 33	mptnn0fsupp 12797	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)))))) finSupp (0g‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  Vcvv 3200  ⦋csb 3533   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   finSupp cfsupp 8275  0cc0 9936   < clt 10074   − cmin 10266  ℕ₀cn0 11292  ...cfz 12326  Basecbs 15857  ._rcmulr 15942   ·_𝑠 cvsca 15945  0_gc0g 16100   Σ_g cgsu 16101  ._gcmg 17540  mulGrpcmgp 18489  Ringcrg 18547  var₁cv1 19546  Poly₁cpl1 19547  coe₁cco1 19548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-ple 15961  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mgp 18490  df-ring 18549  df-psr 19356  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-ply1 19552  df-coe1 19553

This theorem is referenced by:  ply1mulgsum  42178