Theorem prmdvdsfmtnof1 41499

Description: The mapping of a Fermat number to its smallest prime factor is a one-to-one function. (Contributed by AV, 4-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
prmdvdsfmtnof.1	⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
prmdvdsfmtnof1	⊢ 𝐹:ran FermatNo–1-1→ℙ

Distinct variable group:   𝑓,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem prmdvdsfmtnof1

Dummy variables 𝑔 ℎ 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmdvdsfmtnof.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < ))
2	1	prmdvdsfmtnof 41498	. 2 ⊢ 𝐹:ran FermatNo⟶ℙ
3	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ ran FermatNo → 𝐹 = (𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < )))
4		breq2 4657	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑝 ∥ 𝑓 ↔ 𝑝 ∥ 𝑔))
5	4	rabbidv 3189	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔})
6	5	infeq1d 8383	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ))
7	6	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ 𝑓 = 𝑔) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ))
8		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ ran FermatNo → 𝑔 ∈ ran FermatNo)
9		ltso 10118	. . . . . . . 8 ⊢ < Or ℝ
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 ∈ ran FermatNo → < Or ℝ)
11	10	infexd 8389	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ ran FermatNo → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) ∈ V)
12	3, 7, 8, 11	fvmptd 6288	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ ran FermatNo → (𝐹‘𝑔) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ))
13	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (ℎ ∈ ran FermatNo → 𝐹 = (𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < )))
14		breq2 4657	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = ℎ → (𝑝 ∥ 𝑓 ↔ 𝑝 ∥ ℎ))
15	14	rabbidv 3189	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = ℎ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ ℎ})
16	15	infeq1d 8383	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = ℎ → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ ℎ}, ℝ, < ))
17	16	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((ℎ ∈ ran FermatNo ∧ 𝑓 = ℎ) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ ℎ}, ℝ, < ))
18		id 22	. . . . . 6 ⊢ (ℎ ∈ ran FermatNo → ℎ ∈ ran FermatNo)
19	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ ∈ ran FermatNo → < Or ℝ)
20	19	infexd 8389	. . . . . 6 ⊢ (ℎ ∈ ran FermatNo → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ ℎ}, ℝ, < ) ∈ V)
21	13, 17, 18, 20	fvmptd 6288	. . . . 5 ⊢ (ℎ ∈ ran FermatNo → (𝐹‘ℎ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ ℎ}, ℝ, < ))
22	12, 21	eqeqan12d 2638	. . . 4 ⊢ ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ ℎ ∈ ran FermatNo) → ((𝐹‘𝑔) = (𝐹‘ℎ) ↔ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ ℎ}, ℝ, < )))
23		fmtnorn 41446	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 ∈ ran FermatNo ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (FermatNo‘𝑛) = 𝑔)
24		fmtnoge3 41442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘3))
25		uzuzle23 11729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘3) → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘2))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘2))
27	26	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑔) → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘2))
28		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((FermatNo‘𝑛) = 𝑔 → ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ 𝑔 ∈ (ℤ≥‘2)))
29	28	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑔) → ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ 𝑔 ∈ (ℤ≥‘2)))
30	27, 29	mpbid 222	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑔) → 𝑔 ∈ (ℤ≥‘2))
31	30	rexlimiva 3028	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0 (FermatNo‘𝑛) = 𝑔 → 𝑔 ∈ (ℤ≥‘2))
32	23, 31	sylbi 207	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ ran FermatNo → 𝑔 ∈ (ℤ≥‘2))
33		fmtnorn 41446	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ ∈ ran FermatNo ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (FermatNo‘𝑛) = ℎ)
34	26	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = ℎ) → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘2))
35		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((FermatNo‘𝑛) = ℎ → ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ℎ ∈ (ℤ≥‘2)))
36	35	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = ℎ) → ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ℎ ∈ (ℤ≥‘2)))
37	34, 36	mpbid 222	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = ℎ) → ℎ ∈ (ℤ≥‘2))
38	37	rexlimiva 3028	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0 (FermatNo‘𝑛) = ℎ → ℎ ∈ (ℤ≥‘2))
39	33, 38	sylbi 207	. . . . . 6 ⊢ (ℎ ∈ ran FermatNo → ℎ ∈ (ℤ≥‘2))
40		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < )
41		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ ℎ}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ ℎ}, ℝ, < )
42	40, 41	prmdvdsfmtnof1lem1 41496	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ℎ ∈ (ℤ≥‘2)) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ ℎ}, ℝ, < ) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) ∈ ℙ ∧ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) ∥ 𝑔 ∧ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) ∥ ℎ)))
43	32, 39, 42	syl2an 494	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ ℎ ∈ ran FermatNo) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ ℎ}, ℝ, < ) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) ∈ ℙ ∧ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) ∥ 𝑔 ∧ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) ∥ ℎ)))
44		prmdvdsfmtnof1lem2 41497	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ ℎ ∈ ran FermatNo) → ((inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) ∈ ℙ ∧ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) ∥ 𝑔 ∧ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) ∥ ℎ) → 𝑔 = ℎ))
45	43, 44	syld 47	. . . 4 ⊢ ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ ℎ ∈ ran FermatNo) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ ℎ}, ℝ, < ) → 𝑔 = ℎ))
46	22, 45	sylbid 230	. . 3 ⊢ ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ ℎ ∈ ran FermatNo) → ((𝐹‘𝑔) = (𝐹‘ℎ) → 𝑔 = ℎ))
47	46	rgen2a 2977	. 2 ⊢ ∀𝑔 ∈ ran FermatNo∀ℎ ∈ ran FermatNo((𝐹‘𝑔) = (𝐹‘ℎ) → 𝑔 = ℎ)
48		dff13 6512	. 2 ⊢ (𝐹:ran FermatNo–1-1→ℙ ↔ (𝐹:ran FermatNo⟶ℙ ∧ ∀𝑔 ∈ ran FermatNo∀ℎ ∈ ran FermatNo((𝐹‘𝑔) = (𝐹‘ℎ) → 𝑔 = ℎ)))
49	2, 47, 48	mpbir2an 955	1 ⊢ 𝐹:ran FermatNo–1-1→ℙ

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  {crab 2916  Vcvv 3200   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729   Or wor 5034  ran crn 5115  ⟶wf 5884  –1-1→wf1 5885  ‘cfv 5888  infcinf 8347  ℝcr 9935   < clt 10074  2c2 11070  3c3 11071  ℕ₀cn0 11292  ℤ_≥cuz 11687   ∥ cdvds 14983  ℙcprime 15385  FermatNocfmtno 41439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-prod 14636  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-fmtno 41440

This theorem is referenced by:  prminf2  41500