Theorem prmfac1 15431

Description: The factorial of a number only contains primes less than the base. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
prmfac1	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)) → 𝑃 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem prmfac1

Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (!‘𝑥) = (!‘0))
2	1	breq2d 4665	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝑃 ∥ (!‘0)))
3		breq2 4657	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑃 ≤ 𝑥 ↔ 𝑃 ≤ 0))
4	2, 3	imbi12d 334	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃 ≤ 𝑥) ↔ (𝑃 ∥ (!‘0) → 𝑃 ≤ 0)))
5	4	imbi2d 330	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃 ≤ 𝑥)) ↔ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘0) → 𝑃 ≤ 0))))
6		fveq2 6191	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (!‘𝑥) = (!‘𝑘))
7	6	breq2d 4665	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝑃 ∥ (!‘𝑘)))
8		breq2 4657	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑃 ≤ 𝑥 ↔ 𝑃 ≤ 𝑘))
9	7, 8	imbi12d 334	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃 ≤ 𝑥) ↔ (𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ 𝑘)))
10	9	imbi2d 330	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃 ≤ 𝑥)) ↔ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ 𝑘))))
11		fveq2 6191	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑥) = (!‘(𝑘 + 1)))
12	11	breq2d 4665	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1))))
13		breq2 4657	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝑃 ≤ 𝑥 ↔ 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))
14	12, 13	imbi12d 334	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃 ≤ 𝑥) ↔ (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))))
15	14	imbi2d 330	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃 ≤ 𝑥)) ↔ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))))
16		fveq2 6191	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (!‘𝑥) = (!‘𝑁))
17	16	breq2d 4665	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)))
18		breq2 4657	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑃 ≤ 𝑥 ↔ 𝑃 ≤ 𝑁))
19	17, 18	imbi12d 334	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃 ≤ 𝑥) ↔ (𝑃 ∥ (!‘𝑁) → 𝑃 ≤ 𝑁)))
20	19	imbi2d 330	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃 ≤ 𝑥)) ↔ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑁) → 𝑃 ≤ 𝑁))))
21		fac0 13063	. . . . 5 ⊢ (!‘0) = 1
22	21	breq2i 4661	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∥ (!‘0) ↔ 𝑃 ∥ 1)
23		nprmdvds1 15418	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 ∥ 1)
24	23	pm2.21d 118	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ 1 → 𝑃 ≤ 0))
25	22, 24	syl5bi 232	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘0) → 𝑃 ≤ 0))
26		facp1 13065	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
27	26	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
28	27	breq2d 4665	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃 ∥ ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1))))
29		simpr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)
30		faccl 13070	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
31	30	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
32	31	nnzd 11481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘𝑘) ∈ ℤ)
33		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
34	33	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
35	34	nnzd 11481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
36		euclemma 15425	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (!‘𝑘) ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ↔ (𝑃 ∥ (!‘𝑘) ∨ 𝑃 ∥ (𝑘 + 1))))
37	29, 32, 35, 36	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ↔ (𝑃 ∥ (!‘𝑘) ∨ 𝑃 ∥ (𝑘 + 1))))
38	28, 37	bitrd 268	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑃 ∥ (!‘𝑘) ∨ 𝑃 ∥ (𝑘 + 1))))
39		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
40	39	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑘 ∈ ℝ)
41	40	lep1d 10955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))
42		prmz 15389	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
43	42	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℤ)
44	43	zred 11482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℝ)
45	34	nnred 11035	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
46		letr 10131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → ((𝑃 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ (𝑘 + 1)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))
47	44, 40, 45, 46	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ (𝑘 + 1)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))
48	41, 47	mpan2d 710	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ≤ 𝑘 → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))
49	48	imim2d 57	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ 𝑘) → (𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))))
50	49	com23 86	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (!‘𝑘) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ 𝑘) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))))
51		dvdsle 15032	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝑘 + 1) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))
52	43, 34, 51	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (𝑘 + 1) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))
53	52	a1dd 50	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (𝑘 + 1) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ 𝑘) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))))
54	50, 53	jaod 395	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) ∨ 𝑃 ∥ (𝑘 + 1)) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ 𝑘) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))))
55	38, 54	sylbid 230	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ 𝑘) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))))
56	55	com23 86	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ 𝑘) → (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))))
57	56	ex 450	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ 𝑘) → (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))))
58	57	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ 𝑘)) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))))
59	5, 10, 15, 20, 25, 58	nn0ind 11472	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑁) → 𝑃 ≤ 𝑁)))
60	59	3imp 1256	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)) → 𝑃 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   ≤ cle 10075  ℕcn 11020  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  !cfa 13060   ∥ cdvds 14983  ℙcprime 15385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386

This theorem is referenced by:  prmndvdsfaclt  15435  chtublem  24936  bposlem3  25011