Theorem nn0p1nn 11332

Description: A nonnegative integer plus 1 is a positive integer. Strengthening of peano2nn 11032. (Contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0p1nn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nn0p1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 11031	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nn0nnaddcl 11324	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	mpan2 707	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1990  (class class class)co 6650  1c1 9937   + caddc 9939  ℕcn 11020  ℕ₀cn0 11292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-nn 11021  df-n0 11293

This theorem is referenced by:  elnn0nn  11335  elz2  11394  peano5uzi  11466  fseq1p1m1  12414  fzonn0p1  12544  nn0ennn  12778  expnbnd  12993  faccl  13070  facdiv  13074  facwordi  13076  faclbnd  13077  facubnd  13087  bcm1k  13102  bcp1n  13103  bcp1nk  13104  bcpasc  13108  hashf1  13241  fz1isolem  13245  wrdind  13476  wrd2ind  13477  ccats1swrdeqbi  13498  isercoll  14398  isercoll2  14399  iseralt  14415  bcxmas  14567  climcndslem1  14581  fprodser  14679  fallfacval4  14774  bpolycl  14783  bpolysum  14784  bpolydiflem  14785  fsumkthpow  14787  efcllem  14808  ruclem7  14965  ruclem8  14966  ruclem9  14967  sadcp1  15177  smupp1  15202  prmfac1  15431  iserodd  15540  pcfac  15603  1arith  15631  4sqlem12  15660  vdwlem11  15695  vdwlem12  15696  vdwlem13  15697  ramub1  15732  ramcl  15733  prmop1  15742  sylow1lem1  18013  efgsrel  18147  efgsp1  18150  lebnumii  22765  lmnn  23061  vitalilem4  23380  plyco  23997  dgrcolem2  24030  dgrco  24031  advlogexp  24401  cxpmul2  24435  atantayl3  24666  leibpilem2  24668  leibpi  24669  leibpisum  24670  log2cnv  24671  log2tlbnd  24672  log2ublem2  24674  log2ub  24676  birthdaylem2  24679  harmoniclbnd  24735  harmonicbnd4  24737  fsumharmonic  24738  facgam  24792  chpp1  24881  chtublem  24936  bcmono  25002  bcp1ctr  25004  gausslemma2dlem3  25093  2lgslem1a  25116  chtppilimlem1  25162  rplogsumlem2  25174  rpvmasumlem  25176  dchrisumlema  25177  dchrisumlem1  25178  dchrisum0flblem1  25197  dchrisum0lem1b  25204  dchrisum0lem1  25205  dchrisum0lem3  25208  selberg2lem  25239  pntrsumo1  25254  pntrlog2bndlem2  25267  pntrlog2bndlem4  25269  pntrlog2bndlem6a  25271  pntpbnd1  25275  pntpbnd2  25276  pntlemg  25287  pntlemj  25292  pntlemf  25294  qabvle  25314  ostth2lem2  25323  wlkonwlk1l  26559  wwlksnred  26787  wwlksnredwwlkn  26790  wwlksnredwwlkn0  26791  wwlksnwwlksnon  26810  minvecolem3  27732  minvecolem4  27736  archiabllem1a  29745  lmatfvlem  29881  signshnz  30668  subfacval2  31169  erdsze2lem2  31186  cvmliftlem7  31273  faclimlem1  31629  faclimlem2  31630  faclimlem3  31631  faclim  31632  faclim2  31634  poimirlem3  33412  poimirlem4  33413  poimirlem12  33421  poimirlem15  33424  poimirlem16  33425  poimirlem17  33426  poimirlem19  33428  poimirlem20  33429  poimirlem23  33432  poimirlem24  33433  poimirlem25  33434  poimirlem28  33437  poimirlem29  33438  poimirlem31  33440  heiborlem4  33613  heiborlem6  33615  diophin  37336  rexrabdioph  37358  2rexfrabdioph  37360  3rexfrabdioph  37361  4rexfrabdioph  37362  6rexfrabdioph  37363  7rexfrabdioph  37364  elnn0rabdioph  37367  dvdsrabdioph  37374  irrapxlem4  37389  irrapxlem5  37390  2nn0ind  37510  jm2.27a  37572  itgpowd  37800  bccp1k  38540  binomcxplemrat  38549  binomcxplemfrat  38550  recnnltrp  39593  rpgtrecnn  39597  wallispilem3  40284  stirlinglem5  40295  vonioolem1  40894  ccats1pfxeqrex  41422  ccats1pfxeqbi  41431  fllog2  42362  blennnelnn  42370  dignn0flhalflem2  42410