Theorem ragflat 25599

Description: Deduce equality from two right angles. Theorem 8.7 of [Schwabhauser] p. 58. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
israg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
israg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
israg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
israg.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
israg.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
israg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
israg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
israg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
israg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
ragflat.1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
ragflat.2	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐶𝐵”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
ragflat	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Proof of Theorem ragflat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 𝐶) → 𝐵 = 𝐶)
2		israg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		israg.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
4		israg.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		israg.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6		israg.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
7		israg.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
8	7	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
9		israg.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
10	9	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝑃)
11		israg.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
12	11	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐵 ∈ 𝑃)
13		israg.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
14	13	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐶 ∈ 𝑃)
15		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (𝑆‘𝐶) = (𝑆‘𝐶)
16	2, 3, 4, 5, 6, 8, 14, 15, 10	mircl 25556	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ((𝑆‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝑃)
17		ragflat.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
18	17	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
19	2, 3, 4, 5, 6, 8, 14, 15, 10	mircgr 25552	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐶 − ((𝑆‘𝐶)‘𝐴)) = (𝐶 − 𝐴))
20	2, 3, 4, 8, 14, 16, 14, 10, 19	tgcgrcomlr 25375	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (((𝑆‘𝐶)‘𝐴) − 𝐶) = (𝐴 − 𝐶))
21	2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14	israg 25592	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶))))
22	18, 21	mpbid 222	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)))
23		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆‘𝐵) = (𝑆‘𝐵)
24	2, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 23, 14	mircl 25556	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ((𝑆‘𝐵)‘𝐶) ∈ 𝑃)
25		ragflat.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐶𝐵”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
26	25	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ⟨“𝐴𝐶𝐵”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
27	2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 14, 12, 26	ragcom 25593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ⟨“𝐵𝐶𝐴”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
28		simpr 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐵 ≠ 𝐶)
29	2, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 23, 14	mirbtwn 25553	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐵 ∈ (((𝑆‘𝐵)‘𝐶)𝐼𝐶))
30	2, 3, 4, 8, 24, 12, 14, 29	tgbtwncom 25383	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼((𝑆‘𝐵)‘𝐶)))
31	2, 5, 4, 8, 14, 24, 12, 30	btwncolg1 25450	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐵 ∈ (𝐶𝐿((𝑆‘𝐵)‘𝐶)) ∨ 𝐶 = ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)))
32	2, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 14, 10, 24, 27, 28, 31	ragcol 25594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ⟨“((𝑆‘𝐵)‘𝐶)𝐶𝐴”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
33	2, 3, 4, 5, 6, 8, 24, 14, 10	israg 25592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (⟨“((𝑆‘𝐵)‘𝐶)𝐶𝐴”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (((𝑆‘𝐵)‘𝐶) − 𝐴) = (((𝑆‘𝐵)‘𝐶) − ((𝑆‘𝐶)‘𝐴))))
34	32, 33	mpbid 222	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (((𝑆‘𝐵)‘𝐶) − 𝐴) = (((𝑆‘𝐵)‘𝐶) − ((𝑆‘𝐶)‘𝐴)))
35	2, 3, 4, 8, 24, 10, 24, 16, 34	tgcgrcomlr 25375	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)) = (((𝑆‘𝐶)‘𝐴) − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)))
36	20, 22, 35	3eqtrd 2660	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (((𝑆‘𝐶)‘𝐴) − 𝐶) = (((𝑆‘𝐶)‘𝐴) − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)))
37	2, 3, 4, 5, 6, 8, 16, 12, 14	israg 25592	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (⟨“((𝑆‘𝐶)‘𝐴)𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (((𝑆‘𝐶)‘𝐴) − 𝐶) = (((𝑆‘𝐶)‘𝐴) − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶))))
38	36, 37	mpbird 247	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ⟨“((𝑆‘𝐶)‘𝐴)𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
39	2, 3, 4, 5, 6, 8, 14, 15, 10	mirbtwn 25553	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐶 ∈ (((𝑆‘𝐶)‘𝐴)𝐼𝐴))
40	2, 3, 4, 8, 16, 14, 10, 39	tgbtwncom 25383	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼((𝑆‘𝐶)‘𝐴)))
41	2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 38, 40	ragflat2 25598	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝐵 = 𝐶)
42	1, 41	pm2.61dane 2881	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ⟨“cs3 13587  Basecbs 15857  distcds 15950  TarskiGcstrkg 25329  Itvcitv 25335  LineGclng 25336  pInvGcmir 25547  ∟Gcrag 25588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-s2 13593  df-s3 13594  df-trkgc 25347  df-trkgb 25348  df-trkgcb 25349  df-trkg 25352  df-cgrg 25406  df-mir 25548  df-rag 25589

This theorem is referenced by:  ragtriva  25600  footex  25613  foot  25614