Theorem redwlk 26569

Description: A walk ending at the last but one vertex of the walk is a walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Nov-2017.) (Revised by AV, 29-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
redwlk	⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) → (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))(Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))))

Proof of Theorem redwlk

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkv 26508	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
2		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
4	2, 3	iswlk 26506	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))))))
5		wrdred1 13349	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) → (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)))
7	3	wlkf 26510	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
8		redwlklem 26568	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 1 ≤ (#‘𝐹) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) → (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))):(0...(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺))
9	8	3exp 1264	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (1 ≤ (#‘𝐹) → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))):(0...(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺))))
10	7, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (1 ≤ (#‘𝐹) → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))):(0...(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺))))
11	10	imp 445	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))):(0...(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺)))
12		wlkcl 26511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
13		wrdred1hash 13350	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) → (#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))) = ((#‘𝐹) − 1))
14	7, 13	sylan 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) → (#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))) = ((#‘𝐹) − 1))
15		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) ∈ ℤ)
16		fzossrbm1 12497	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℤ → (0..^((#‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(#‘𝐹)))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (0..^((#‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(#‘𝐹)))
18		ssralv 3666	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0..^((#‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(#‘𝐹)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))))
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))))
20	17	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → 𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
21		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = (𝑃‘𝑘))
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = (𝑃‘𝑘))
23	22	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → (𝑃‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘))
24		fzo0ss1 12498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1..^(#‘𝐹)) ⊆ (0..^(#‘𝐹))
25		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)))
26	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → (#‘𝐹) ∈ ℤ)
27		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → 1 ∈ ℤ)
28		fzoaddel2 12523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑘 + 1) ∈ (1..^(#‘𝐹)))
29	25, 26, 27, 28	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ (1..^(#‘𝐹)))
30	24, 29	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)))
31		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)) → ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
33	32	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)))
34	23, 33	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → ((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))))
35		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1)) → ((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
36	35	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → ((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
37	36	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘))
38	37	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))
39	23	sneqd 4189	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → {(𝑃‘𝑘)} = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘)})
40	38, 39	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)} ↔ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘)}))
41	23, 33	preq12d 4276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))})
42	41, 38	sseq12d 3634	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) ↔ {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘))))
43	34, 40, 42	ifpbi123d 1027	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) ↔ if-(((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
44	43	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))) → (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → if-(((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
45	44	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))if-(((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
46	19, 45	syld 47	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))if-(((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
47	46	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))) = ((#‘𝐹) − 1)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))if-(((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
48		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))) = ((#‘𝐹) − 1) → (0..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))))) = (0..^((#‘𝐹) − 1)))
49	48	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))) = ((#‘𝐹) − 1) → (0..^((#‘𝐹) − 1)) = (0..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))))))
50	49	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))) = ((#‘𝐹) − 1) → (∀𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))if-(((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘))) ↔ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
51	50	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))) = ((#‘𝐹) − 1)) → (∀𝑘 ∈ (0..^((#‘𝐹) − 1))if-(((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘))) ↔ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
52	47, 51	sylibd 229	. . . . . . . . 9 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))) = ((#‘𝐹) − 1)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
53	12, 14, 52	syl2an2r 876	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
54	6, 11, 53	3anim123d 1406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) → ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → ((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))):(0...(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘))))))
55	54	imp 445	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))))) → ((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))):(0...(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))))
56		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ V → 𝐺 ∈ V)
57		resexg 5442	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ V → (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))) ∈ V)
58		resexg 5442	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ V → (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))) ∈ V)
59	2, 3	iswlk 26506	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))) ∈ V ∧ (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))) ∈ V) → ((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))(Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))) ↔ ((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))):(0...(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘))))))
60	59	bicomd 213	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))) ∈ V ∧ (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))) ∈ V) → (((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))):(0...(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))) ↔ (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))(Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))))
61	56, 57, 58, 60	syl3an 1368	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1))) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ (𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))):(0...(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))))if-(((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘) = ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)) = {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘)}, {((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘𝑘), ((𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘((𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))‘𝑘)))) ↔ (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))(Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))))
62	55, 61	syl5ib 234	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘))))) → (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))(Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))))
63	62	expcomd 454	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑘)))) → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) → (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))(Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))))))
64	4, 63	sylbid 230	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) → (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))(Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))))))
65	1, 64	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) → (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))(Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹)))))
66	65	anabsi5 858	1 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 1 ≤ (#‘𝐹)) → (𝐹 ↾ (0..^((#‘𝐹) − 1)))(Walks‘𝐺)(𝑃 ↾ (0..^(#‘𝐹))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384  if-wif 1012   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574  {csn 4177  {cpr 4179   class class class wbr 4653  dom cdm 5114   ↾ cres 5116  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   ≤ cle 10075   − cmin 10266  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ...cfz 12326  ..^cfzo 12465  #chash 13117  Word cword 13291  Vtxcvtx 25874  iEdgciedg 25875  Walkscwlks 26492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1013  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-wlks 26495

This theorem is referenced by: (None)