Nearby theorems
|
|
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
| Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > redwlk | Structured version Visualization version Unicode version | ||
| Description: A walk ending at the last but one vertex of the walk is a walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Nov-2017.) (Revised by AV, 29-Jan-2021.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| redwlk |
   Walks    ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small}       ..^  Walks ..^ |
is distinct from all other
variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | wlkv 26508 |
. . 3
Walks  
| |
| 2 | eqid 2622 |
. . . . 5
Vtx  Vtx | |
| 3 | eqid 2622 |
. . . . 5
iEdg iEdg | |
| 4 | 2, 3 | iswlk 26506 |
. . . 4
Walks  Word  iEdg    Vtx 
..^if-   iEdg    iEdg |
| 5 | wrdred1 13349 |
. . . . . . . . 9
Word
iEdg
..^ Word iEdg | |
| 6 | 5 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
Walks
Word iEdg ..^ Word iEdg |
| 7 | 3 | wlkf 26510 |
. . . . . . . . . 10
Walks Word iEdg |
| 8 | redwlklem 26568 |
. . . . . . . . . . 11
Word iEdg
Vtx
..^ ..^ Vtx | |
| 9 | 8 | 3exp 1264 |
. . . . . . . . . 10
Word
iEdg
Vtx ..^ ..^ Vtx |
| 10 | 7, 9 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
Walks Vtx ..^ ..^ Vtx |
| 11 | 10 | imp 445 |
. . . . . . . 8
Walks Vtx ..^ ..^ Vtx |
| 12 | wlkcl 26511 |
. . . . . . . . 9
Walks  | |
| 13 | wrdred1hash 13350 |
. . . . . . . . . 10
Word iEdg ..^ | |
| 14 | 7, 13 | sylan 488 |
. . . . . . . . 9
Walks ..^ |
| 15 | nn0z 11400 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 | |
| 16 | fzossrbm1 12497 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^
..^ | |
| 17 | 15, 16 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
..^ |
| 18 | ssralv 3666 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^
..^if- iEdg iEdg ..^ if- iEdg iEdg | |
| 19 | 17, 18 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
..^if- iEdg iEdg ..^ if- iEdg iEdg |
| 20 | 17 | sselda 3603 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^ |
| 21 | fvres 6207 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
..^ | |
| 22 | 20, 21 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^ |
| 23 | 22 | eqcomd 2628 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^ |
| 24 | fzo0ss1 12498 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ ..^ | |
| 25 | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^ ..^ | |
| 26 | 15 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^ |
| 27 | 1zzd 11408 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^ | |
| 28 | fzoaddel2 12523 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^ ..^ | |
| 29 | 25, 26, 27, 28 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ ..^ |
| 30 | 24, 29 | sseldi 3601 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^ |
| 31 | fvres 6207 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
..^ | |
| 32 | 30, 31 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^ |
| 33 | 32 | eqcomd 2628 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^ |
| 34 | 23, 33 | eqeq12d 2637 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^
..^
..^ |
| 35 | fvres 6207 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^
..^ | |
| 36 | 35 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^ |
| 37 | 36 | eqcomd 2628 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ..^ |
| 38 | 37 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ iEdg iEdg ..^ |
| 39 | 23 | sneqd 4189 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^ |
| 40 | 38, 39 | eqeq12d 2637 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^ iEdg
iEdg ..^ ..^ |
| 41 | 23, 33 | preq12d 4276 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ ..^ ..^ |
| 42 | 41, 38 | sseq12d 3634 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^
iEdg ..^ ..^ iEdg ..^ |
| 43 | 34, 40, 42 | ifpbi123d 1027 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ if- iEdg iEdg
if- ..^ ..^ iEdg ..^ ..^
..^ ..^ iEdg ..^ |
| 44 | 43 | biimpd 219 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ if- iEdg iEdg if- ..^ ..^ iEdg ..^ ..^
..^ ..^ iEdg ..^ |
| 45 | 44 | ralimdva 2962 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ if- iEdg iEdg
..^ if- ..^ ..^ iEdg ..^ ..^
..^ ..^ iEdg ..^ |
| 46 | 19, 45 | syld 47 |
. . . . . . . . . . 11
..^if- iEdg iEdg ..^ if- ..^ ..^ iEdg ..^ ..^
..^ ..^ iEdg ..^ |
| 47 | 46 | adantr 481 |
. . . . . . . . . 10
..^
..^if- iEdg iEdg ..^ if- ..^ ..^ iEdg ..^ ..^
..^ ..^ iEdg ..^ |
| 48 | oveq2 6658 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^ ..^ ..^ | |
| 49 | 48 | eqcomd 2628 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ ..^ ..^ ..^ |
| 50 | 49 | raleqdv 3144 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^ if- ..^ ..^ iEdg ..^ ..^
..^ ..^ iEdg ..^
..^ ..^ if- ..^ ..^ iEdg ..^ ..^
..^ ..^ iEdg ..^ |
| 51 | 50 | adantl 482 |
. . . . . . . . . 10
..^
..^ if-
..^ ..^ iEdg ..^ ..^
..^ ..^ iEdg ..^
..^ ..^ if- ..^ ..^ iEdg ..^ ..^
..^ ..^ iEdg ..^ |
| 52 | 47, 51 | sylibd 229 |
. . . . . . . . 9
..^
..^if- iEdg iEdg ..^ ..^ if-
..^ ..^ iEdg ..^ ..^
..^ ..^ iEdg ..^ |
| 53 | 12, 14, 52 | syl2an2r 876 |
. . . . . . . 8
Walks
..^if- iEdg iEdg ..^ ..^ if-
..^ ..^ iEdg ..^ ..^
..^ ..^ iEdg ..^ |
| 54 | 6, 11, 53 | 3anim123d 1406 |
. . . . . . 7
Walks Word iEdg Vtx
..^if- iEdg iEdg ..^ Word iEdg ..^ ..^ Vtx
..^ ..^ if-
..^ ..^ iEdg ..^ ..^
..^ ..^ iEdg ..^ |
| 55 | 54 | imp 445 |
. . . . . 6
Walks
Word iEdg Vtx
..^if- iEdg iEdg ..^ Word iEdg ..^ ..^ Vtx
..^ ..^ if-
..^ ..^ iEdg ..^ ..^
..^ ..^ iEdg ..^ |
| 56 | id 22 |
. . . . . . 7
| |
| 57 | resexg 5442 |
. . . . . . 7
..^ | |
| 58 | resexg 5442 |
. . . . . . 7
..^ | |
| 59 | 2, 3 | iswlk 26506 |
. . . . . . . 8
..^ ..^ ..^ Walks ..^ ..^ Word iEdg ..^ ..^ Vtx
..^ ..^ if-
..^ ..^ iEdg ..^ ..^
..^ ..^ iEdg ..^ |
| 60 | 59 | bicomd 213 |
. . . . . . 7
..^ ..^ ..^ Word iEdg ..^ ..^ Vtx
..^ ..^ if-
..^ ..^ iEdg ..^ ..^
..^ ..^ iEdg ..^ ..^ Walks ..^ |
| 61 | 56, 57, 58, 60 | syl3an 1368 |
. . . . . 6
..^ Word iEdg ..^ ..^ Vtx
..^ ..^ if-
..^ ..^ iEdg ..^ ..^
..^ ..^ iEdg ..^ ..^ Walks ..^ |
| 62 | 55, 61 | syl5ib 234 |
. . . . 5
Walks
Word iEdg Vtx
..^if- iEdg iEdg ..^ Walks ..^ |
| 63 | 62 | expcomd 454 |
. . . 4
Word iEdg Vtx
..^if- iEdg iEdg Walks ..^ Walks ..^ |
| 64 | 4, 63 | sylbid 230 |
. . 3
Walks Walks ..^ Walks ..^ |
| 65 | 1, 64 | mpcom 38 |
. 2
Walks Walks ..^ Walks ..^ |
| 66 | 65 | anabsi5 858 |
1
Walks ..^ Walks ..^ |
| Colors of variables: wff setvar class |
| Syntax hints: wi 4
wb 196 wa 384 if-wif 1012 w3a 1037 wceq 1483 wcel 1990 wral 2912 cvv 3200 wss 3574 csn 4177 cpr 4179 class class class wbr 4653
cdm 5114
cres 5116
wf 5884 cfv 5888 (class class class)co 6650
cc0 9936
c1 9937
caddc 9939 cle 10075 cmin 10266 cn0 11292 cz 11377 cfz 12326 ..^cfzo 12465
chash 13117 Word cword 13291 Vtxcvtx 25874
iEdgciedg 25875 Walkscwlks 26492 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-ifp 1013 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-hash 13118 df-word 13299 df-wlks 26495 |
| This theorem is referenced by: (None) |
| Copyright terms: Public domain | W3C validator |