Theorem rexzrexnn0 37368

Description: Rewrite a quantification over integers into a quantification over naturals. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rexzrexnn0.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
rexzrexnn0.2	⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
rexzrexnn0	⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝜓 ∨ 𝜒))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝜒,𝑥   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)

Proof of Theorem rexzrexnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0 11392	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∨ -𝑥 ∈ ℕ0)))
2	1	simprbi 480	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ ℕ0 ∨ -𝑥 ∈ ℕ0))
3	2	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝜑) → (𝑥 ∈ ℕ0 ∨ -𝑥 ∈ ℕ0))
4		simpr 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0)
5		simplr 792	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝜑)
6		rexzrexnn0.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
7	6	equcoms 1947	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝜑 ↔ 𝜓))
8	7	bicomd 213	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝜓 ↔ 𝜑))
9	8	rspcev 3309	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝜑) → ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜓)
10	4, 5, 9	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜓)
11	10	ex 450	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝜑) → (𝑥 ∈ ℕ0 → ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜓))
12		simpr 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ -𝑥 ∈ ℕ0) → -𝑥 ∈ ℕ0)
13		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
14	13	negnegd 10383	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → --𝑥 = 𝑥)
15	14	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 = --𝑥)
16		negeq 10273	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = -𝑥 → -𝑦 = --𝑥)
17	16	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = -𝑥 → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑥 = --𝑥))
18	15, 17	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑦 = -𝑥 → 𝑥 = -𝑦))
19	18	imp 445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = -𝑥) → 𝑥 = -𝑦)
20		rexzrexnn0.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = -𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜒))
22	21	bicomd 213	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = -𝑥) → (𝜒 ↔ 𝜑))
23	22	adantlr 751	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ -𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 = -𝑥) → (𝜒 ↔ 𝜑))
24	12, 23	rspcedv 3313	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ -𝑥 ∈ ℕ0) → (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜒))
25	24	impancom 456	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝜑) → (-𝑥 ∈ ℕ0 → ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜒))
26	11, 25	orim12d 883	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝜑) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∨ -𝑥 ∈ ℕ0) → (∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜓 ∨ ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜒)))
27	3, 26	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝜑) → (∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜓 ∨ ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜒))
28		r19.43 3093	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝜓 ∨ 𝜒) ↔ (∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜓 ∨ ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜒))
29	27, 28	sylibr 224	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝜑) → ∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝜓 ∨ 𝜒))
30	29	rexlimiva 3028	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝜓 ∨ 𝜒))
31		nn0z 11400	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℤ)
32	6	rspcev 3309	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝜓) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝜑)
33	31, 32	sylan 488	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝜓) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝜑)
34		nn0negz 11415	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → -𝑦 ∈ ℤ)
35	20	rspcev 3309	. . . . 5 ⊢ ((-𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝜒) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝜑)
36	34, 35	sylan 488	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝜒) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝜑)
37	33, 36	jaodan 826	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝜓 ∨ 𝜒)) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝜑)
38	37	rexlimiva 3028	. 2 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝜓 ∨ 𝜒) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝜑)
39	30, 38	impbii 199	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝜓 ∨ 𝜒))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∃wrex 2913  ℝcr 9935  -cneg 10267  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378

This theorem is referenced by:  dvdsrabdioph  37374