Theorem rngidpropd 18695

Description: The ring identity depends only on the ring's base set and multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngidpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
rngidpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
rngidpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
rngidpropd	⊢ (𝜑 → (1r‘𝐾) = (1r‘𝐿))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem rngidpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngidpropd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝐾) = (mulGrp‘𝐾)
3		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4	2, 3	mgpbas 18495	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘(mulGrp‘𝐾))
5	1, 4	syl6eq 2672	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
6		rngidpropd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
7		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝐿) = (mulGrp‘𝐿)
8		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
9	7, 8	mgpbas 18495	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘(mulGrp‘𝐿))
10	6, 9	syl6eq 2672	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐿)))
11		rngidpropd.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
12		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
13	2, 12	mgpplusg 18493	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐾) = (+g‘(mulGrp‘𝐾))
14	13	oveqi 6663	. . . 4 ⊢ (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)
15		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)
16	7, 15	mgpplusg 18493	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐿) = (+g‘(mulGrp‘𝐿))
17	16	oveqi 6663	. . . 4 ⊢ (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐿))𝑦)
18	11, 14, 17	3eqtr3g 2679	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐿))𝑦))
19	5, 10, 18	grpidpropd 17261	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘(mulGrp‘𝐾)) = (0g‘(mulGrp‘𝐿)))
20		eqid 2622	. . 3 ⊢ (1r‘𝐾) = (1r‘𝐾)
21	2, 20	ringidval 18503	. 2 ⊢ (1r‘𝐾) = (0g‘(mulGrp‘𝐾))
22		eqid 2622	. . 3 ⊢ (1r‘𝐿) = (1r‘𝐿)
23	7, 22	ringidval 18503	. 2 ⊢ (1r‘𝐿) = (0g‘(mulGrp‘𝐿))
24	19, 21, 23	3eqtr4g 2681	1 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐾) = (1r‘𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Basecbs 15857  +_gcplusg 15941  ._rcmulr 15942  0_gc0g 16100  mulGrpcmgp 18489  1_rcur 18501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgp 18490  df-ur 18502

This theorem is referenced by:  unitpropd  18697  subrgpropd  18814  lmodprop2d  18925  opsr1  19589  ply1mpl1  19627  zlm1  30007  hlhils1N  37238