Theorem seqof2 12859

Description: Distribute function operation through a sequence. Maps-to notation version of seqof 12858. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqof2.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
seqof2.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
seqof2.3	⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ⊆ 𝐵)
seqof2.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑋 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
seqof2	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( ∘𝑓 + , (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)))‘𝑁) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))‘𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐴   𝑥,𝑀,𝑧   𝑥,𝑁,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧   𝑧, +   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑧)   + (𝑥)   𝑉(𝑥,𝑧)   𝑊(𝑥,𝑧)   𝑋(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem seqof2

Dummy variables 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqof2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		seqof2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		nfv 1843	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))
4		nffvmpt1 6199	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))‘𝑛)
5		nfcv 2764	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
6		nffvmpt1 6199	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛)
7	5, 6	nfmpt 4746	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛))
8	4, 7	nfeq 2776	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))‘𝑛) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛))
9	3, 8	nfim 1825	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))‘𝑛) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛)))
10		eleq1 2689	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)))
11	10	anbi2d 740	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))))
12		fveq2 6191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))‘𝑛))
13		fveq2 6191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛))
14	13	mpteq2dv 4745	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑥)) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛)))
15	12, 14	eqeq12d 2637	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))‘𝑥) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑥)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))‘𝑛) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛))))
16	11, 15	imbi12d 334	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))‘𝑥) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑥))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))‘𝑛) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛)))))
17		seqof2.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ⊆ 𝐵)
18	17	sselda 3603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
19	1	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
20		mptexg 6484	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ∈ V)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ∈ V)
22		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))
23	22	fvmpt2 6291	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))‘𝑥) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))
24	18, 21, 23	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))‘𝑥) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))
25	18	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
26		simpll 790	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝜑)
27		simpr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)
28		seqof2.4	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑋 ∈ 𝑊)
29	26, 25, 27, 28	syl12anc 1324	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑊)
30		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)
31	30	fvmpt2 6291	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑥) = 𝑋)
32	25, 29, 31	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑥) = 𝑋)
33	32	mpteq2dva 4744	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑥)) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))
34	24, 33	eqtr4d 2659	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))‘𝑥) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑥)))
35	9, 16, 34	chvar 2262	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))‘𝑛) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛)))
36		nfcv 2764	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛)
37		nfcsb1v 3549	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧⦋𝑦 / 𝑧⦌(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)
38		nfcv 2764	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧𝑛
39	37, 38	nffv 6198	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧(⦋𝑦 / 𝑧⦌(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛)
40		csbeq1a 3542	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋) = ⦋𝑦 / 𝑧⦌(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))
41	40	fveq1d 6193	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛) = (⦋𝑦 / 𝑧⦌(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛))
42	36, 39, 41	cbvmpt 4749	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛)) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (⦋𝑦 / 𝑧⦌(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛))
43	35, 42	syl6eq 2672	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))‘𝑛) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (⦋𝑦 / 𝑧⦌(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)‘𝑛)))
44	1, 2, 43	seqof 12858	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( ∘𝑓 + , (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)))‘𝑁) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (seq𝑀( + , ⦋𝑦 / 𝑧⦌(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))‘𝑁)))
45		nfcv 2764	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦(seq𝑀( + , (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))‘𝑁)
46		nfcv 2764	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧𝑀
47		nfcv 2764	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑧 +
48	46, 47, 37	nfseq 12811	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑧seq𝑀( + , ⦋𝑦 / 𝑧⦌(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))
49		nfcv 2764	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑧𝑁
50	48, 49	nffv 6198	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑧(seq𝑀( + , ⦋𝑦 / 𝑧⦌(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))‘𝑁)
51	40	seqeq3d 12809	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → seq𝑀( + , (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)) = seq𝑀( + , ⦋𝑦 / 𝑧⦌(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)))
52	51	fveq1d 6193	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))‘𝑁) = (seq𝑀( + , ⦋𝑦 / 𝑧⦌(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))‘𝑁))
53	45, 50, 52	cbvmpt 4749	. 2 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))‘𝑁)) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (seq𝑀( + , ⦋𝑦 / 𝑧⦌(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))‘𝑁))
54	44, 53	syl6eqr 2674	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( ∘𝑓 + , (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)))‘𝑁) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (seq𝑀( + , (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200  ⦋csb 3533   ⊆ wss 3574   ↦ cmpt 4729  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ∘_𝑓 cof 6895  ℤ_≥cuz 11687  ...cfz 12326  seqcseq 12801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802

This theorem is referenced by:  mtestbdd  24159  lgamgulm2  24762  lgamcvglem  24766