Theorem signshf 30665

Description: 𝐻, corresponding to the word 𝐹 multiplied by (𝑥 − 𝐶), as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(#‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
signs.h	⊢ 𝐻 = ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∘𝑓 − ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩)∘𝑓/𝑐 · 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
signshf	⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐻:(0..^((#‘𝐹) + 1))⟶ℝ)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝐻(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signshf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resubcl 10345	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ)
2	1	adantl 482	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ)
3		0red 10041	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
4	3	s1cld 13383	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ⟨“0”⟩ ∈ Word ℝ)
5		simpl 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ Word ℝ)
6		ccatcl 13359	. . . . . 6 ⊢ ((⟨“0”⟩ ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ∈ Word ℝ) → (⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∈ Word ℝ)
7	4, 5, 6	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∈ Word ℝ)
8		wrdf 13310	. . . . 5 ⊢ ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∈ Word ℝ → (⟨“0”⟩ ++ 𝐹):(0..^(#‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)))⟶ℝ)
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (⟨“0”⟩ ++ 𝐹):(0..^(#‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)))⟶ℝ)
10		ccatlen 13360	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⟨“0”⟩ ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ∈ Word ℝ) → (#‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)) = ((#‘⟨“0”⟩) + (#‘𝐹)))
11	4, 5, 10	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (#‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)) = ((#‘⟨“0”⟩) + (#‘𝐹)))
12		s1len 13385	. . . . . . . . 9 ⊢ (#‘⟨“0”⟩) = 1
13	12	oveq1i 6660	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘⟨“0”⟩) + (#‘𝐹)) = (1 + (#‘𝐹))
14	11, 13	syl6eq 2672	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (#‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)) = (1 + (#‘𝐹)))
15		1cnd 10056	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
16		wrdfin 13323	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → 𝐹 ∈ Fin)
17		hashcl 13147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
18	5, 16, 17	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
19	18	nn0cnd 11353	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (#‘𝐹) ∈ ℂ)
20	15, 19	addcomd 10238	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (1 + (#‘𝐹)) = ((#‘𝐹) + 1))
21	14, 20	eqtrd 2656	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (#‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)) = ((#‘𝐹) + 1))
22	21	oveq2d 6666	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (0..^(#‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹))) = (0..^((#‘𝐹) + 1)))
23	22	feq2d 6031	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹):(0..^(#‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)))⟶ℝ ↔ (⟨“0”⟩ ++ 𝐹):(0..^((#‘𝐹) + 1))⟶ℝ))
24	9, 23	mpbid 222	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (⟨“0”⟩ ++ 𝐹):(0..^((#‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
25		remulcl 10021	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
26	25	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
27		ccatcl 13359	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ ⟨“0”⟩ ∈ Word ℝ) → (𝐹 ++ ⟨“0”⟩) ∈ Word ℝ)
28	4, 27	syldan 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐹 ++ ⟨“0”⟩) ∈ Word ℝ)
29		wrdf 13310	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩) ∈ Word ℝ → (𝐹 ++ ⟨“0”⟩):(0..^(#‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)))⟶ℝ)
30	28, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐹 ++ ⟨“0”⟩):(0..^(#‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)))⟶ℝ)
31		ccatlen 13360	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ ⟨“0”⟩ ∈ Word ℝ) → (#‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)) = ((#‘𝐹) + (#‘⟨“0”⟩)))
32	4, 31	syldan 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (#‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)) = ((#‘𝐹) + (#‘⟨“0”⟩)))
33	12	oveq2i 6661	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘𝐹) + (#‘⟨“0”⟩)) = ((#‘𝐹) + 1)
34	32, 33	syl6eq 2672	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (#‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)) = ((#‘𝐹) + 1))
35	34	oveq2d 6666	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (0..^(#‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩))) = (0..^((#‘𝐹) + 1)))
36	35	feq2d 6031	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩):(0..^(#‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)))⟶ℝ ↔ (𝐹 ++ ⟨“0”⟩):(0..^((#‘𝐹) + 1))⟶ℝ))
37	30, 36	mpbid 222	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐹 ++ ⟨“0”⟩):(0..^((#‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
38		ovexd 6680	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (0..^((#‘𝐹) + 1)) ∈ V)
39		simpr 477	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ+)
40	39	rpred 11872	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
41	26, 37, 38, 40	ofcf 30165	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩)∘𝑓/𝑐 · 𝐶):(0..^((#‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
42		inidm 3822	. . 3 ⊢ ((0..^((#‘𝐹) + 1)) ∩ (0..^((#‘𝐹) + 1))) = (0..^((#‘𝐹) + 1))
43	2, 24, 41, 38, 38, 42	off 6912	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∘𝑓 − ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩)∘𝑓/𝑐 · 𝐶)):(0..^((#‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
44		signs.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∘𝑓 − ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩)∘𝑓/𝑐 · 𝐶))
45	44	feq1i 6036	. 2 ⊢ (𝐻:(0..^((#‘𝐹) + 1))⟶ℝ ↔ ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∘𝑓 − ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩)∘𝑓/𝑐 · 𝐶)):(0..^((#‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
46	43, 45	sylibr 224	1 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐻:(0..^((#‘𝐹) + 1))⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  Vcvv 3200  ifcif 4086  {cpr 4179  {ctp 4181  ⟨cop 4183   ↦ cmpt 4729  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ↦ cmpt2 6652   ∘_𝑓 cof 6895  Fincfn 7955  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   − cmin 10266  -cneg 10267  ℕ₀cn0 11292  ℝ⁺crp 11832  ...cfz 12326  ..^cfzo 12465  #chash 13117  Word cword 13291   ++ cconcat 13293  ⟨“cs1 13294  sgncsgn 13826  Σcsu 14416  ndxcnx 15854  Basecbs 15857  +_gcplusg 15941   Σ_g cgsu 16101  ∘_𝑓/𝑐cofc 30157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-ofc 30158

This theorem is referenced by:  signshwrd  30666  signshlen  30667