Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | smflimlem2.4 |
. . . . 5
⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪
𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } |
2 | | nfrab1 3122 |
. . . . 5
⊢
Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ ∪
𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } |
3 | 1, 2 | nfcxfr 2762 |
. . . 4
⊢
Ⅎ𝑥𝐷 |
4 | 3 | ssrab2f 39300 |
. . 3
⊢ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴} ⊆ 𝐷 |
5 | 4 | a1i 11 |
. 2
⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴} ⊆ 𝐷) |
6 | | simpllr 799 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ 𝐷) |
7 | | ssrab2 3687 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) |
8 | 1, 7 | eqsstri 3635 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 𝐷 ⊆ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) |
9 | 8 | sseli 3599 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ∪
𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) |
10 | | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑛 = 𝑖 → (ℤ≥‘𝑛) =
(ℤ≥‘𝑖)) |
11 | 10 | iineq1d 39267 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑛 = 𝑖 → ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) = ∩ 𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚)) |
12 | 11 | cbviunv 4559 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) = ∪ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚) |
13 | 12 | eleq2i 2693 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ↔ 𝑥 ∈ ∪
𝑖 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚)) |
14 | | eliun 4524 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑖 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚) ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑍 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚)) |
15 | 13, 14 | bitri 264 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑍 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚)) |
16 | 9, 15 | sylib 208 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ∃𝑖 ∈ 𝑍 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚)) |
17 | 6, 16 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑖 ∈ 𝑍 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚)) |
18 | | nfv 1843 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
Ⅎ𝑚((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴) |
19 | | nfv 1843 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
Ⅎ𝑚 𝑘 ∈ ℕ |
20 | 18, 19 | nfan 1828 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
Ⅎ𝑚(((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) |
21 | | nfv 1843 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
Ⅎ𝑚 𝑖 ∈ 𝑍 |
22 | 20, 21 | nfan 1828 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
Ⅎ𝑚((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) |
23 | | nfcv 2764 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
Ⅎ𝑚𝑥 |
24 | | nfii1 4551 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
Ⅎ𝑚∩ 𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚) |
25 | 23, 24 | nfel 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
Ⅎ𝑚 𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚) |
26 | 22, 25 | nfan 1828 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
Ⅎ𝑚(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚)) |
27 | | nfmpt1 4747 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
Ⅎ𝑚(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) |
28 | | eqid 2622 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(ℤ≥‘𝑖) = (ℤ≥‘𝑖) |
29 | | uzssz 11707 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ |
30 | | smflimlem2.1 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ 𝑍 =
(ℤ≥‘𝑀) |
31 | 30 | eleq2i 2693 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑖 ∈ 𝑍 ↔ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) |
32 | 31 | biimpi 206 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑖 ∈ 𝑍 → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) |
33 | 29, 32 | sseldi 3601 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑖 ∈ 𝑍 → 𝑖 ∈ ℤ) |
34 | | uzid 11702 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈
(ℤ≥‘𝑖)) |
35 | 33, 34 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑖 ∈ 𝑍 → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) |
36 | 35 | ad2antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚)) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) |
37 | | simplll 798 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷)) |
38 | 37 | simpld 475 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝜑) |
39 | | uzss 11708 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑖 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝑖) ⊆
(ℤ≥‘𝑀)) |
40 | 32, 39 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑖 ∈ 𝑍 → (ℤ≥‘𝑖) ⊆
(ℤ≥‘𝑀)) |
41 | 40, 30 | syl6sseqr 3652 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑖 ∈ 𝑍 → (ℤ≥‘𝑖) ⊆ 𝑍) |
42 | 41 | sselda 3603 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑖 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑚 ∈ 𝑍) |
43 | 42 | ad4ant24 1298 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑚 ∈ 𝑍) |
44 | | eliinid 39294 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚)) |
45 | 44 | adantll 750 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚)) |
46 | | eqidd 2623 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) |
47 | | fvexd 6203 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) ∈ V) |
48 | 46, 47 | fvmpt2d 6293 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))‘𝑚) = ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) |
49 | 48 | 3adant3 1081 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚)) → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))‘𝑚) = ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) |
50 | | smflimlem2.2 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg) |
51 | 50 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg) |
52 | | smflimlem2.3 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆)) |
53 | 52 | ffvelrnda 6359 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚) ∈ (SMblFn‘𝑆)) |
54 | | eqid 2622 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ dom
(𝐹‘𝑚) = dom (𝐹‘𝑚) |
55 | 51, 53, 54 | smff 40941 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚):dom (𝐹‘𝑚)⟶ℝ) |
56 | 55 | 3adant3 1081 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚)) → (𝐹‘𝑚):dom (𝐹‘𝑚)⟶ℝ) |
57 | | simp3 1063 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚)) → 𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚)) |
58 | 56, 57 | ffvelrnd 6360 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚)) → ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) ∈ ℝ) |
59 | 49, 58 | eqeltrd 2701 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚)) → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))‘𝑚) ∈ ℝ) |
60 | 38, 43, 45, 59 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))‘𝑚) ∈ ℝ) |
61 | 60 | ad5ant1345 1316 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))‘𝑚) ∈ ℝ) |
62 | 61 | ad5ant1345 1316 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))‘𝑚) ∈ ℝ) |
63 | 1 | eleq2i 2693 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∪
𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }) |
64 | 63 | biimpi 206 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∪
𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }) |
65 | | rabidim2 39284 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∪
𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ) |
66 | 64, 65 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ) |
67 | | climdm 14285 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))) |
68 | 66, 67 | sylib 208 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))) |
69 | 68 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))) |
70 | 69, 67 | sylibr 224 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ) |
71 | 70, 67 | sylib 208 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))) |
72 | | nfcv 2764 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
Ⅎ𝑥𝐹 |
73 | | smflimlem2.5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))) |
74 | | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐷) |
75 | 3, 72, 73, 74 | fnlimfv 39895 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐺‘𝑥) = ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))) |
76 | 75 | eqcomd 2628 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = (𝐺‘𝑥)) |
77 | 71, 76 | breqtrd 4679 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥)) |
78 | 77 | ad4antr 768 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚)) → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥)) |
79 | | smflimlem2.6 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ) |
80 | 79 | ad5antr 770 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚)) → 𝐴 ∈ ℝ) |
81 | | simp-4r 807 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚)) → (𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴) |
82 | | simpllr 799 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚)) → 𝑘 ∈ ℕ) |
83 | | nnrecrp 39605 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 /
𝑘) ∈
ℝ+) |
84 | 82, 83 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚)) → (1 / 𝑘) ∈
ℝ+) |
85 | 26, 27, 28, 36, 62, 78, 80, 81, 84 | climleltrp 39908 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚)) → ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))‘𝑚) ∈ ℝ ∧ ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘)))) |
86 | | simp-6l 810 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝜑) |
87 | | simplr 792 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚)) → 𝑖 ∈ 𝑍) |
88 | 87 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑖 ∈ 𝑍) |
89 | | simplr 792 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚)) |
90 | | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) |
91 | | nfv 1843 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
Ⅎ𝑚𝜑 |
92 | 91, 21, 25 | nf3an 1831 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
Ⅎ𝑚(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚)) |
93 | | nfv 1843 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
Ⅎ𝑚 𝑛 ∈
(ℤ≥‘𝑖) |
94 | 92, 93 | nfan 1828 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
Ⅎ𝑚((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) |
95 | | simpll 790 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚))) |
96 | 28 | uztrn2 11705 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑛 ∈
(ℤ≥‘𝑖) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) |
97 | 96 | adantll 750 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) |
98 | | simpll2 1101 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) ∧ ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → 𝑖 ∈ 𝑍) |
99 | | simplr 792 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) ∧ ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) |
100 | 98, 99, 42 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) ∧ ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → 𝑚 ∈ 𝑍) |
101 | | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) ∧ ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) |
102 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑚 ∈ 𝑍) |
103 | | fvexd 6203 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) ∈ V) |
104 | | eqid 2622 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) |
105 | 104 | fvmpt2 6291 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) ∈ V) → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))‘𝑚) = ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) |
106 | 102, 103,
105 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))‘𝑚) = ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) |
107 | 106 | eqcomd 2628 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) = ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))‘𝑚)) |
108 | 107 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) = ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))‘𝑚)) |
109 | | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) |
110 | 108, 109 | eqbrtrd 4675 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) |
111 | 100, 101,
110 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) ∧ ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) |
112 | 44 | 3ad2antl3 1225 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚)) |
113 | 112 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) ∧ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → 𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚)) |
114 | | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) ∧ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) |
115 | 113, 114 | jca 554 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) ∧ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → (𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∧ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘)))) |
116 | | rabid 3116 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} ↔ (𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∧ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘)))) |
117 | 115, 116 | sylibr 224 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) ∧ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}) |
118 | 111, 117 | syldan 487 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) ∧ ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}) |
119 | 118 | adantrl 752 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) ∧ (((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))‘𝑚) ∈ ℝ ∧ ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘)))) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}) |
120 | 119 | ex 450 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → ((((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))‘𝑚) ∈ ℝ ∧ ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))})) |
121 | 95, 97, 120 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))‘𝑚) ∈ ℝ ∧ ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))})) |
122 | 94, 121 | ralimdaa 2958 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → (∀𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑛)(((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))‘𝑚) ∈ ℝ ∧ ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))})) |
123 | 86, 88, 89, 90, 122 | syl31anc 1329 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → (∀𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑛)(((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))‘𝑚) ∈ ℝ ∧ ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))})) |
124 | 123 | reximdva 3017 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚)) → (∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))‘𝑚) ∈ ℝ ∧ ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))‘𝑚) < (𝐴 + (1 / 𝑘))) → ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))})) |
125 | 85, 124 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚)) → ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}) |
126 | | ssrexv 3667 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((ℤ≥‘𝑖) ⊆ 𝑍 → (∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))})) |
127 | 41, 126 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑖 ∈ 𝑍 → (∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))})) |
128 | 127 | ad2antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚)) → (∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))})) |
129 | 125, 128 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚)) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}) |
130 | 129 | ex 450 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))})) |
131 | 130 | rexlimdva 3031 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ 𝑍 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑖)dom (𝐹‘𝑚) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))})) |
132 | 17, 131 | mpd 15 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}) |
133 | | nfv 1843 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
Ⅎ𝑚(𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) |
134 | | nfra1 2941 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
Ⅎ𝑚∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} |
135 | 133, 134 | nfan 1828 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
Ⅎ𝑚((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}) |
136 | | simpll1 1100 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝜑) |
137 | | simpll2 1101 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ) |
138 | 30 | uztrn2 11705 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑗 ∈ 𝑍) |
139 | 138 | ssd 39252 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → (ℤ≥‘𝑛) ⊆ 𝑍) |
140 | 139 | sselda 3603 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑚 ∈ 𝑍) |
141 | 140 | adantll 750 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑚 ∈ 𝑍) |
142 | 141 | 3adantl1 1217 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑚 ∈ 𝑍) |
143 | 142 | adantlr 751 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑚 ∈ 𝑍) |
144 | | rspa 2930 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((∀𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}) |
145 | 144 | adantll 750 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}) |
146 | | simp1 1061 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → 𝜑) |
147 | | simp3 1063 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → 𝑚 ∈ 𝑍) |
148 | | simp2 1062 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ ℕ) |
149 | | eqid 2622 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹‘𝑚))} = {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹‘𝑚))} |
150 | 149, 50 | rabexd 4814 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝜑 → {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹‘𝑚))} ∈ V) |
151 | 150 | ralrimivw 2967 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹‘𝑚))} ∈ V) |
152 | 151 | ralrimivw 2967 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ ℕ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹‘𝑚))} ∈ V) |
153 | 152 | 3ad2ant1 1082 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ∀𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ ℕ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹‘𝑚))} ∈ V) |
154 | | smflimlem2.7 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ 𝑍, 𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹‘𝑚))}) |
155 | 154 | elrnmpt2id 39427 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ ℕ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹‘𝑚))} ∈ V) → (𝑚𝑃𝑘) ∈ ran 𝑃) |
156 | 147, 148,
153, 155 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝑚𝑃𝑘) ∈ ran 𝑃) |
157 | | ovex 6678 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑚𝑃𝑘) ∈ V |
158 | | eleq1 2689 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑟 = (𝑚𝑃𝑘) → (𝑟 ∈ ran 𝑃 ↔ (𝑚𝑃𝑘) ∈ ran 𝑃)) |
159 | 158 | anbi2d 740 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑟 = (𝑚𝑃𝑘) → ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ran 𝑃) ↔ (𝜑 ∧ (𝑚𝑃𝑘) ∈ ran 𝑃))) |
160 | | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑟 = (𝑚𝑃𝑘) → (𝐶‘𝑟) = (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘))) |
161 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑟 = (𝑚𝑃𝑘) → 𝑟 = (𝑚𝑃𝑘)) |
162 | 160, 161 | eleq12d 2695 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑟 = (𝑚𝑃𝑘) → ((𝐶‘𝑟) ∈ 𝑟 ↔ (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ (𝑚𝑃𝑘))) |
163 | 159, 162 | imbi12d 334 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑟 = (𝑚𝑃𝑘) → (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ran 𝑃) → (𝐶‘𝑟) ∈ 𝑟) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑚𝑃𝑘) ∈ ran 𝑃) → (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ (𝑚𝑃𝑘)))) |
164 | | smflimlem2.10 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ran 𝑃) → (𝐶‘𝑟) ∈ 𝑟) |
165 | 157, 163,
164 | vtocl 3259 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚𝑃𝑘) ∈ ran 𝑃) → (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ (𝑚𝑃𝑘)) |
166 | 146, 156,
165 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ (𝑚𝑃𝑘)) |
167 | | fvexd 6203 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ V) |
168 | | smflimlem2.8 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ 𝐻 = (𝑚 ∈ 𝑍, 𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘))) |
169 | 168 | ovmpt4g 6783 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ V) → (𝑚𝐻𝑘) = (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘))) |
170 | 147, 148,
167, 169 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝑚𝐻𝑘) = (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘))) |
171 | 170 | eqcomd 2628 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) = (𝑚𝐻𝑘)) |
172 | 146, 150 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹‘𝑚))} ∈ V) |
173 | 154 | ovmpt4g 6783 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹‘𝑚))} ∈ V) → (𝑚𝑃𝑘) = {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹‘𝑚))}) |
174 | 147, 148,
172, 173 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝑚𝑃𝑘) = {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹‘𝑚))}) |
175 | 171, 174 | eleq12d 2695 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ (𝑚𝑃𝑘) ↔ (𝑚𝐻𝑘) ∈ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹‘𝑚))})) |
176 | 166, 175 | mpbid 222 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝑚𝐻𝑘) ∈ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹‘𝑚))}) |
177 | | ineq1 3807 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑠 = (𝑚𝐻𝑘) → (𝑠 ∩ dom (𝐹‘𝑚)) = ((𝑚𝐻𝑘) ∩ dom (𝐹‘𝑚))) |
178 | 177 | eqeq2d 2632 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑠 = (𝑚𝐻𝑘) → ({𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹‘𝑚)) ↔ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = ((𝑚𝐻𝑘) ∩ dom (𝐹‘𝑚)))) |
179 | 178 | elrab 3363 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑚𝐻𝑘) ∈ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹‘𝑚))} ↔ ((𝑚𝐻𝑘) ∈ 𝑆 ∧ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = ((𝑚𝐻𝑘) ∩ dom (𝐹‘𝑚)))) |
180 | 176, 179 | sylib 208 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → ((𝑚𝐻𝑘) ∈ 𝑆 ∧ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = ((𝑚𝐻𝑘) ∩ dom (𝐹‘𝑚)))) |
181 | 180 | simprd 479 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = ((𝑚𝐻𝑘) ∩ dom (𝐹‘𝑚))) |
182 | | inss1 3833 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑚𝐻𝑘) ∩ dom (𝐹‘𝑚)) ⊆ (𝑚𝐻𝑘) |
183 | 181, 182 | syl6eqss 3655 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} ⊆ (𝑚𝐻𝑘)) |
184 | 183 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}) → {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} ⊆ (𝑚𝐻𝑘)) |
185 | | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}) |
186 | 184, 185 | sseldd 3604 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}) → 𝑥 ∈ (𝑚𝐻𝑘)) |
187 | 136, 137,
143, 145, 186 | syl31anc 1329 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝑚𝐻𝑘)) |
188 | 187 | ex 450 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}) → (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) → 𝑥 ∈ (𝑚𝐻𝑘))) |
189 | 135, 188 | ralrimi 2957 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}) → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ (𝑚𝐻𝑘)) |
190 | | vex 3203 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 𝑥 ∈ V |
191 | | eliin 4525 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑚𝐻𝑘) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ (𝑚𝐻𝑘))) |
192 | 190, 191 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 ∈ ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑚𝐻𝑘) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ (𝑚𝐻𝑘)) |
193 | 189, 192 | sylibr 224 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))}) → 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑛)(𝑚𝐻𝑘)) |
194 | 193 | ex 450 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} → 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑛)(𝑚𝐻𝑘))) |
195 | 194 | ad5ant145 1315 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} → 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑛)(𝑚𝐻𝑘))) |
196 | 195 | reximdva 3017 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} → ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑛)(𝑚𝐻𝑘))) |
197 | 132, 196 | mpd 15 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑛)(𝑚𝐻𝑘)) |
198 | | eliun 4524 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑛)(𝑚𝐻𝑘) ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 𝑥 ∈ ∩
𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑛)(𝑚𝐻𝑘)) |
199 | 197, 198 | sylibr 224 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ∪
𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑛)(𝑚𝐻𝑘)) |
200 | 199 | ralrimiva 2966 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴) → ∀𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ∪
𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑛)(𝑚𝐻𝑘)) |
201 | | eliin 4525 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ℕ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑛)(𝑚𝐻𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ∪
𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑛)(𝑚𝐻𝑘))) |
202 | 190, 201 | ax-mp 5 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 ∈ ∩ 𝑘 ∈ ℕ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑛)(𝑚𝐻𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ∪
𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑛)(𝑚𝐻𝑘)) |
203 | 200, 202 | sylibr 224 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴) → 𝑥 ∈ ∩
𝑘 ∈ ℕ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑛)(𝑚𝐻𝑘)) |
204 | | smflimlem2.9 |
. . . . . 6
⊢ 𝐼 = ∩ 𝑘 ∈ ℕ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈
(ℤ≥‘𝑛)(𝑚𝐻𝑘) |
205 | 203, 204 | syl6eleqr 2712 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐼) |
206 | 205 | ex 450 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐼)) |
207 | 206 | ralrimiva 2966 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐷 ((𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐼)) |
208 | | rabss 3679 |
. . 3
⊢ ({𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴} ⊆ 𝐼 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ((𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐼)) |
209 | 207, 208 | sylibr 224 |
. 2
⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴} ⊆ 𝐼) |
210 | 5, 209 | ssind 3837 |
1
⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴} ⊆ (𝐷 ∩ 𝐼)) |