Theorem swrdnd2 13433

Description: Value of the subword extractor outside its intended domain. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
swrdnd2	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐵 ≤ 𝐴 ∨ (#‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅))

Proof of Theorem swrdnd2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3orass 1040	. . 3 ⊢ ((𝐵 ≤ 𝐴 ∨ (#‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0) ↔ (𝐵 ≤ 𝐴 ∨ ((#‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)))
2		pm2.24 121	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≤ 𝐴 → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅)))
3		swrdval 13417	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = if((𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊, (𝑥 ∈ (0..^(𝐵 − 𝐴)) ↦ (𝑊‘(𝑥 + 𝐴))), ∅))
4	3	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((#‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = if((𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊, (𝑥 ∈ (0..^(𝐵 − 𝐴)) ↦ (𝑊‘(𝑥 + 𝐴))), ∅))
5		wrdf 13310	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑉)
6		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑉 → dom 𝑊 = (0..^(#‘𝑊)))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → dom 𝑊 = (0..^(#‘𝑊)))
8		lencl 13324	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
9		3anass 1042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ↔ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)))
10		ssfzoulel 12562	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((#‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0) → ((𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^(#‘𝑊)) → 𝐵 ≤ 𝐴)))
11	10	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((#‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) → ((𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^(#‘𝑊)) → 𝐵 ≤ 𝐴))
12	9, 11	sylanbr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((#‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) → ((𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^(#‘𝑊)) → 𝐵 ≤ 𝐴))
13	12	con3dimp 457	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((#‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴) → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^(#‘𝑊)))
14		sseq2 3627	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(#‘𝑊)) → ((𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊 ↔ (𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^(#‘𝑊))))
15	14	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(#‘𝑊)) → (¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊 ↔ ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^(#‘𝑊))))
16	13, 15	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(#‘𝑊)) → (((((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((#‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴) → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊))
17	16	expd 452	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(#‘𝑊)) → ((((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((#‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊)))
18	17	exp4c 636	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((#‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊)))))
19	7, 8, 18	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((#‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊))))
20	19	3impib 1262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((#‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊)))
21	20	imp 445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((#‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊))
22	21	imp 445	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((#‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴) → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊)
23	22	iffalsed 4097	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((#‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴) → if((𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊, (𝑥 ∈ (0..^(𝐵 − 𝐴)) ↦ (𝑊‘(𝑥 + 𝐴))), ∅) = ∅)
24	4, 23	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((#‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅)
25	24	ex 450	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((#‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅))
26	25	expcom 451	. . . . . 6 ⊢ (((#‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅)))
27	26	com23 86	. . . . 5 ⊢ (((#‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅)))
28	2, 27	jaoi 394	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ≤ 𝐴 ∨ ((#‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅)))
29		swrdlend 13431	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 ≤ 𝐴 → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅))
30	29	com12 32	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≤ 𝐴 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅))
31	28, 30	pm2.61d2 172	. . 3 ⊢ ((𝐵 ≤ 𝐴 ∨ ((#‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅))
32	1, 31	sylbi 207	. 2 ⊢ ((𝐵 ≤ 𝐴 ∨ (#‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅))
33	32	com12 32	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐵 ≤ 𝐴 ∨ (#‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∨ w3o 1036   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  ifcif 4086  ⟨cop 4183   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  dom cdm 5114  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  0cc0 9936   + caddc 9939   ≤ cle 10075   − cmin 10266  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ..^cfzo 12465  #chash 13117  Word cword 13291   substr csubstr 13295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-substr 13303

This theorem is referenced by: (None)