Theorem lencl 13324

Description: The length of a word is a nonnegative integer. This corresponds to the definition in section 9.1 of [AhoHopUll] p. 318. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lencl	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem lencl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdfin 13323	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊 ∈ Fin)
2		hashcl 13147	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Fin → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1990  ‘cfv 5888  Fincfn 7955  ℕ₀cn0 11292  #chash 13117  Word cword 13291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299

This theorem is referenced by:  wrdffz  13326  wrdsymb0  13339  wrdlenge1n0  13340  wrdlenge2n0  13341  wrdsymb1  13342  eqwrd  13346  wrdred1  13349  wrdred1hash  13350  ccatcl  13359  ccatlen  13360  ccatval1  13361  ccatval3  13363  elfzelfzccat  13364  ccatsymb  13366  ccatfv0  13367  ccatlid  13369  ccatrid  13370  ccatass  13371  ccatrn  13372  lswccatn0lsw  13373  ccatalpha  13375  wrdlenccats1lenm1  13399  ccatw2s1len  13402  ccats1val2  13404  ccatws1lenrevOLD  13408  ccatws1n0  13409  lswccats1fst  13412  ccatw2s1p1  13413  ccat2s1fvw  13415  swrdid  13428  swrdn0  13430  swrdnd  13432  swrdnd2  13433  swrdrlen  13435  addlenrevswrd  13437  addlenswrd  13438  swrdtrcfv0  13442  swrdeq  13444  swrdlen2  13445  swrdfv2  13446  swrdtrcfvl  13450  swrdlsw  13452  2swrdeqwrdeq  13453  2swrd1eqwrdeq  13454  swrdccat1  13457  swrdccat2  13458  wrdcctswrd  13465  ccats1swrdeq  13469  ccatopth2  13471  cats1un  13475  wrdind  13476  wrd2ind  13477  ccats1swrdeqrex  13478  swrdccatin1  13483  swrdccatin2  13487  swrdccatin12lem2  13489  swrdccatin12lem3  13490  swrdccatin12  13491  swrdccat3  13492  swrdccat  13493  swrdccat3a  13494  swrdccat3blem  13495  swrdccat3b  13496  swrdccatid  13497  ccats1swrdeqbi  13498  spllen  13505  splval2  13508  revcl  13510  revlen  13511  revccat  13515  revrev  13516  repswsymball  13526  repswsymballbi  13527  cshwsublen  13542  cshwn  13543  cshwlen  13545  cshwidxmod  13549  2cshwid  13560  3cshw  13564  cshweqdif2  13565  cshw1  13568  scshwfzeqfzo  13572  revco  13580  ccatco  13581  cats1fvn  13603  cats1fv  13604  swrd2lsw  13695  2swrd2eqwrdeq  13696  ccat2s1fvwALT  13698  cshwshashnsame  15810  gsmsymgrfixlem1  17847  gsmsymgreqlem2  17851  pmtrdifwrdellem2  17902  psgnuni  17919  psgnran  17935  efginvrel2  18140  efgsdmi  18145  efgsval2  18146  efgsp1  18150  efgsfo  18152  efgredlemf  18154  efgredlemg  18155  efgredleme  18156  efgredlemd  18157  efgredlemc  18158  efgredlem  18160  efgred  18161  efgcpbllemb  18168  frgpuplem  18185  frgpnabllem1  18276  pgpfaclem1  18480  psgnghm  19926  upgrewlkle2  26502  wlkcl  26511  wlkeq  26529  wlkv0  26547  wlklenvclwlk  26551  redwlklem  26568  wlkp1lem3  26572  wlkp1lem8  26577  wlkdlem1  26579  pthdlem1  26662  pthdlem2  26664  wlkiswwlks1  26753  wlkiswwlks2lem1  26755  wlkiswwlks2lem3  26757  wlkiswwlks2lem4  26758  wwlksm1edg  26767  wlklnwwlkln2lem  26768  wwlksnextbi  26789  wwlksnextproplem2  26805  wwlksnextproplem3  26806  rusgrnumwwlks  26869  clwlkclwwlklem2a1  26893  clwlkclwwlklem2a2  26894  clwlkclwwlklem2a4  26898  clwlkclwwlklem2a  26899  clwlkclwwlklem2  26901  clwlkclwwlklem3  26902  clwlkclwwlk  26903  clwlkclwwlk2  26904  umgrclwwlksge2  26912  clwwisshclwwslem  26927  erclwwlksref  26934  clwlksfclwwlk2wrd  26958  clwlksfclwwlk1hash  26960  clwlksfclwwlk  26962  clwlksf1clwwlklem1  26965  clwlksf1clwwlklem3  26967  eupth2eucrct  27077  eucrctshift  27103  numclwwlkovf2exlem2  27212  numclwlk2lem2f1o  27238  sseqfv1  30451  sseqfn  30452  sseqmw  30453  sseqf  30454  sseqfv2  30456  sseqp1  30457  signstlen  30644  signstfvn  30646  signstfvp  30648  signstfvneq0  30649  signstfvc  30651  signstfveq0a  30653  signstfveq0  30654  signshlen  30667  signshnz  30668  elmrsubrn  31417  lswn0  41380  pfxid  41392  addlenrevpfx  41397  addlenpfx  41398  pfxtrcfv0  41402  pfxeq  41404  pfxtrcfvl  41405  pfxsuffeqwrdeq  41406  pfxccat1  41410  pfx2  41412  pfxcctswrd  41417  ccats1pfxeq  41421  ccats1pfxeqrex  41422  pfxccatin12lem2  41424  pfxccatin12  41425  pfxccat3  41426  pfxccatpfx2  41428  pfxccat3a  41429  pfxccatid  41430  ccats1pfxeqbi  41431