Theorem symgfixfo 17859

Description: The mapping of a permutation of a set fixing an element to a permutation of the set without the fixed element is an onto function. (Contributed by AV, 7-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgfixf.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
symgfixf.q	⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}
symgfixf.s	⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgfixf.h	⊢ 𝐻 = (𝑞 ∈ 𝑄 ↦ (𝑞 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))

Assertion

Ref	Expression
symgfixfo	⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝐻:𝑄–onto→𝑆)

Distinct variable groups:   𝐾,𝑞   𝑃,𝑞   𝑁,𝑞   𝑄,𝑞   𝑆,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑞)   𝑉(𝑞)

Proof of Theorem symgfixfo

Dummy variables 𝑝 𝑖 𝑠 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgfixf.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
2		symgfixf.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}
3		symgfixf.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
4		symgfixf.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑞 ∈ 𝑄 ↦ (𝑞 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
5	1, 2, 3, 4	symgfixf 17856	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → 𝐻:𝑄⟶𝑆)
6	5	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝐻:𝑄⟶𝑆)
7		eqeq1 2626	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 = 𝐾 ↔ 𝑗 = 𝐾))
8		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑠‘𝑖) = (𝑠‘𝑗))
9	7, 8	ifbieq2d 4111	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖)) = if(𝑗 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑗)))
10	9	cbvmptv 4750	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑗)))
11	1, 2, 3, 4, 10	symgfixfolem1 17858	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ∈ 𝑄)
12	11	3expa 1265	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ∈ 𝑄)
13		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝐾 ∈ 𝑁)
14	13	anim1i 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))
15	14	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))
16		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖)))
17	3, 16	symgextres 17845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ((𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) = 𝑠)
18	15, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → ((𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) = 𝑠)
19	18	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → 𝑠 = ((𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
20		reseq1 5390	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) → (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) = ((𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
21	20	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) → (𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) ↔ 𝑠 = ((𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
22	21	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → (𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) ↔ 𝑠 = ((𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
23	19, 22	mpbird 247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
24	23	ex 450	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) → (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
25	24	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖)))) → (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
26	12, 25	rspcimedv 3311	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ∃𝑝 ∈ 𝑄 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
27	26	pm2.43i 52	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ∃𝑝 ∈ 𝑄 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
28	4	fvtresfn 6284	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑄 → (𝐻‘𝑝) = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
29	28	eqeq2d 2632	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑄 → (𝑠 = (𝐻‘𝑝) ↔ 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
30	29	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 ∈ 𝑄) → (𝑠 = (𝐻‘𝑝) ↔ 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
31	30	rexbidva 3049	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (∃𝑝 ∈ 𝑄 𝑠 = (𝐻‘𝑝) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝑄 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
32	27, 31	mpbird 247	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ∃𝑝 ∈ 𝑄 𝑠 = (𝐻‘𝑝))
33	32	ralrimiva 2966	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ∀𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑝 ∈ 𝑄 𝑠 = (𝐻‘𝑝))
34		dffo3 6374	. 2 ⊢ (𝐻:𝑄–onto→𝑆 ↔ (𝐻:𝑄⟶𝑆 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑝 ∈ 𝑄 𝑠 = (𝐻‘𝑝)))
35	6, 33, 34	sylanbrc 698	1 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝐻:𝑄–onto→𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  {crab 2916   ∖ cdif 3571  ifcif 4086  {csn 4177   ↦ cmpt 4729   ↾ cres 5116  ⟶wf 5884  –onto→wfo 5886  ‘cfv 5888  Basecbs 15857  SymGrpcsymg 17797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-tset 15960  df-symg 17798

This theorem is referenced by:  symgfixf1o  17860