Theorem symgtset 17819

Description: The topology of the symmetric group on 𝐴. This component is defined on a larger set than the true base - the product topology is defined on the set of all functions, not just bijections - but the definition of TopOpen ensures that it is trimmed down before it gets use. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
symggrp.1	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
symgtset	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴})) = (TopSet‘𝐺))

Proof of Theorem symgtset

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symggrp.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3	1, 2	symgbas 17800	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = {𝑥 ∣ 𝑥:𝐴–1-1-onto→𝐴}
4		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
5	1, 2, 4	symgplusg 17809	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (𝑓 ∈ (Base‘𝐺), 𝑔 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))
6		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴})) = (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))
7	1, 3, 5, 6	symgval 17799	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), (Base‘𝐺)⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝐺)⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩})
8	7	fveq2d 6195	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (TopSet‘𝐺) = (TopSet‘{⟨(Base‘ndx), (Base‘𝐺)⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝐺)⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩}))
9		fvex 6201	. . 3 ⊢ (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴})) ∈ V
10		eqid 2622	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), (Base‘𝐺)⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝐺)⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩} = {⟨(Base‘ndx), (Base‘𝐺)⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝐺)⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩}
11	10	topgrptset 16045	. . 3 ⊢ ((∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴})) ∈ V → (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴})) = (TopSet‘{⟨(Base‘ndx), (Base‘𝐺)⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝐺)⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩}))
12	9, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴})) = (TopSet‘{⟨(Base‘ndx), (Base‘𝐺)⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝐺)⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩})
13	8, 12	syl6reqr 2675	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴})) = (TopSet‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200  𝒫 cpw 4158  {csn 4177  {ctp 4181  ⟨cop 4183   × cxp 5112  ‘cfv 5888  ndxcnx 15854  Basecbs 15857  +_gcplusg 15941  TopSetcts 15947  ∏_tcpt 16099  SymGrpcsymg 17797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-tset 15960  df-symg 17798

This theorem is referenced by:  symgtopn  17825