Theorem tglndim0 25524

Description: There are no lines in dimension 0. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglineelsb2.p	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tglineelsb2.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineelsb2.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineelsb2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglndim0.d	⊢ (𝜑 → (#‘𝐵) = 1)

Assertion

Ref	Expression
tglndim0	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ran 𝐿)

Proof of Theorem tglndim0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglineelsb2.p	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		tglndim0.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐵) = 1)
3	2	ad4antr 768	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → (#‘𝐵) = 1)
4		simpllr 799	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
5		simplr 792	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
6	1, 3, 4, 5	tgldim0eq 25398	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝑥 = 𝑦)
7		simprr 796	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝑥 ≠ 𝑦)
8	6, 7	pm2.21ddne 2878	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → ⊥)
9		tglineelsb2.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
10		tglineelsb2.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
11		tglineelsb2.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
12	11	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐿) → 𝐺 ∈ TarskiG)
13		simpr 477	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐿) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
14	1, 9, 10, 12, 13	tgisline 25522	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐿) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
15	8, 14	r19.29vva 3081	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐿) → ⊥)
16	15	inegd 1503	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ran 𝐿)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483  ⊥wfal 1488   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ran crn 5115  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  1c1 9937  #chash 13117  Basecbs 15857  TarskiGcstrkg 25329  Itvcitv 25335  LineGclng 25336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118  df-trkg 25352

This theorem is referenced by:  hpgerlem  25657