Theorem threehalves 29623

Description: Example theorem demonstrating decimal expansions. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
threehalves	⊢ (3 / 2) = (1.5)

Proof of Theorem threehalves

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 11094	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		2re 11090	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		2ne0 11113	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
4	1, 2, 3	redivcli 10792	. . . 4 ⊢ (3 / 2) ∈ ℝ
5	4	recni 10052	. . 3 ⊢ (3 / 2) ∈ ℂ
6		1nn0 11308	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7		5re 11099	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℝ
8		dpcl 29598	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℝ) → (1.5) ∈ ℝ)
9	6, 7, 8	mp2an 708	. . . 4 ⊢ (1.5) ∈ ℝ
10	9	recni 10052	. . 3 ⊢ (1.5) ∈ ℂ
11		2cnne0 11242	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
12	5, 10, 11	3pm3.2i 1239	. 2 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
13		5nn0 11312	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14		3nn0 11310	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
15		0nn0 11307	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
16		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ ;15 = ;15
17		df-2 11079	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
18	17	oveq1i 6660	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = ((1 + 1) + 1)
19		2p1e3 11151	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = 3
20	18, 19	eqtr3i 2646	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 1) + 1) = 3
21		5p5e10 11596	. . . . . 6 ⊢ (5 + 5) = ;10
22	6, 13, 6, 13, 16, 16, 20, 15, 21	decaddc 11572	. . . . 5 ⊢ (;15 + ;15) = ;30
23	6, 13, 6, 13, 14, 15, 22	dpadd 29619	. . . 4 ⊢ ((1.5) + (1.5)) = (3.0)
24	14	dp0u 29609	. . . 4 ⊢ (3.0) = 3
25	23, 24	eqtri 2644	. . 3 ⊢ ((1.5) + (1.5)) = 3
26	10	times2i 11148	. . 3 ⊢ ((1.5) · 2) = ((1.5) + (1.5))
27	1	recni 10052	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
28	11	simpli 474	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
29	27, 28, 3	divcan1i 10769	. . 3 ⊢ ((3 / 2) · 2) = 3
30	25, 26, 29	3eqtr4ri 2655	. 2 ⊢ ((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2)
31		mulcan2 10665	. . 3 ⊢ (((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2) ↔ (3 / 2) = (1.5)))
32	31	biimpa 501	. 2 ⊢ ((((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (1.5) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) ∧ ((3 / 2) · 2) = ((1.5) · 2)) → (3 / 2) = (1.5))
33	12, 30, 32	mp2an 708	1 ⊢ (3 / 2) = (1.5)

Syntax hints:   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   / cdiv 10684  2c2 11070  3c3 11071  5c5 11073  ℕ₀cn0 11292  ;cdc 11493  .cdp 29595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-dec 11494  df-dp2 29578  df-dp 29596

This theorem is referenced by: (None)