Theorem ttgelitv 25763

Description: Betweenness for a subcomplex Hilbert space augmented with betweenness. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ttgval.n	⊢ 𝐺 = (toTG‘𝐻)
ttgitvval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ttgitvval.b	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐻)
ttgitvval.m	⊢ − = (-g‘𝐻)
ttgitvval.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐻)
ttgelitv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
ttgelitv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
ttgelitv.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑉)
ttgelitv.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ttgelitv	⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑍 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋))))

Distinct variable groups:   − ,𝑘   𝑘,𝐻   𝑃,𝑘   𝑘,𝑉   𝑘,𝑋   𝑘,𝑌   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   · (𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐼(𝑘)

Proof of Theorem ttgelitv

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ttgelitv.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑉)
2		ttgelitv.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
3		ttgelitv.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
4		ttgval.n	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (toTG‘𝐻)
5		ttgitvval.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6		ttgitvval.b	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐻)
7		ttgitvval.m	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝐻)
8		ttgitvval.s	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐻)
9	4, 5, 6, 7, 8	ttgitvval 25762	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋𝐼𝑌) = {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋))})
10	1, 2, 3, 9	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) = {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋))})
11	10	eleq2d 2687	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ 𝑍 ∈ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋))}))
12		oveq1 6657	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑧 − 𝑋) = (𝑍 − 𝑋))
13	12	eqeq1d 2624	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → ((𝑧 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋)) ↔ (𝑍 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋))))
14	13	rexbidv 3052	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋)) ↔ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑍 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋))))
15	14	elrab 3363	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋))} ↔ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑍 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋))))
16	11, 15	syl6bb 276	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑍 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋)))))
17		ttgelitv.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
18	17	biantrurd 529	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑍 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋)) ↔ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑍 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋)))))
19	16, 18	bitr4d 271	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑍 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∃wrex 2913  {crab 2916  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  0cc0 9936  1c1 9937  [,]cicc 12178  Basecbs 15857   ·_𝑠 cvsca 15945  -_gcsg 17424  Itvcitv 25335  toTGcttg 25753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-dec 11494  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-sets 15864  df-itv 25337  df-lng 25338  df-ttg 25754

This theorem is referenced by:  ttgbtwnid  25764  ttgcontlem1  25765