Theorem usgr1v0e 26218

Description: The size of a (finite) simple graph with 1 vertex is 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Jan-2018.) (Revised by AV, 22-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fusgredgfi.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
fusgredgfi.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
usgr1v0e	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝑉) = 1) → (#‘𝐸) = 0)

Proof of Theorem usgr1v0e

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 = {𝑣}) → 𝐺 ∈ USGraph )
2		vex 3203	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑣 ∈ V
3	2	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 = {𝑣}) → 𝑣 ∈ V)
4		fusgredgfi.v	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5	4	eqeq1i 2627	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 = {𝑣} ↔ (Vtx‘𝐺) = {𝑣})
6	5	biimpi 206	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 = {𝑣} → (Vtx‘𝐺) = {𝑣})
7	6	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 = {𝑣}) → (Vtx‘𝐺) = {𝑣})
8		usgr1vr 26147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑣 ∈ V ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑣}) → (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺) = ∅))
9	8	3adant1 1079	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣 ∈ V ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑣}) → (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺) = ∅))
10	1, 3, 7, 9	syl3anc 1326	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 = {𝑣}) → (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺) = ∅))
11	1, 10	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 = {𝑣}) → (iEdg‘𝐺) = ∅)
12		fusgredgfi.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
13	12	eqeq1i 2627	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 = ∅ ↔ (Edg‘𝐺) = ∅)
14		usgruhgr 26078	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UHGraph )
15		uhgriedg0edg0 26022	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
17	16	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 = {𝑣}) → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
18	13, 17	syl5bb 272	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 = {𝑣}) → (𝐸 = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
19	11, 18	mpbird 247	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 = {𝑣}) → 𝐸 = ∅)
20	19	ex 450	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑉 = {𝑣} → 𝐸 = ∅))
21	20	exlimdv 1861	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (∃𝑣 𝑉 = {𝑣} → 𝐸 = ∅))
22		fvex 6201	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) ∈ V
23	4, 22	eqeltri 2697	. . . 4 ⊢ 𝑉 ∈ V
24		hash1snb 13207	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ V → ((#‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑣 𝑉 = {𝑣}))
25	23, 24	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((#‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑣 𝑉 = {𝑣}))
26		fvex 6201	. . . . 5 ⊢ (Edg‘𝐺) ∈ V
27	12, 26	eqeltri 2697	. . . 4 ⊢ 𝐸 ∈ V
28		hasheq0 13154	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ V → ((#‘𝐸) = 0 ↔ 𝐸 = ∅))
29	27, 28	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((#‘𝐸) = 0 ↔ 𝐸 = ∅))
30	21, 25, 29	3imtr4d 283	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((#‘𝑉) = 1 → (#‘𝐸) = 0))
31	30	imp 445	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝑉) = 1) → (#‘𝐸) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483  ∃wex 1704   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200  ∅c0 3915  {csn 4177  ‘cfv 5888  0cc0 9936  1c1 9937  #chash 13117  Vtxcvtx 25874  iEdgciedg 25875  Edgcedg 25939   UHGraph cuhgr 25951   USGraph cusgr 26044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118  df-edg 25940  df-uhgr 25953  df-upgr 25977  df-uspgr 26045  df-usgr 26046

This theorem is referenced by:  cusgrsizeindb1  26346