Theorem hasheq0 13154

Description: Two ways of saying a finite set is empty. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hasheq0	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((#‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))

Proof of Theorem hasheq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 10081	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∉ ℝ
2	1	neli 2899	. . . . . 6 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
3		hashinf 13122	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (#‘𝐴) = +∞)
4	3	eleq1d 2686	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((#‘𝐴) ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
5	2, 4	mtbiri 317	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (#‘𝐴) ∈ ℝ)
6		id 22	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝐴) = 0 → (#‘𝐴) = 0)
7		0re 10040	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
8	6, 7	syl6eqel 2709	. . . . 5 ⊢ ((#‘𝐴) = 0 → (#‘𝐴) ∈ ℝ)
9	5, 8	nsyl 135	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (#‘𝐴) = 0)
10		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
11		0fin 8188	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ Fin
12	10, 11	syl6eqel 2709	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ Fin)
13	12	con3i 150	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ¬ 𝐴 = ∅)
14	13	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 = ∅)
15	9, 14	2falsed 366	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((#‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
16	15	ex 450	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ((#‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅)))
17		hashen 13135	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∅ ∈ Fin) → ((#‘𝐴) = (#‘∅) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
18	11, 17	mpan2 707	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((#‘𝐴) = (#‘∅) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
19		fz10 12362	. . . . . 6 ⊢ (1...0) = ∅
20	19	fveq2i 6194	. . . . 5 ⊢ (#‘(1...0)) = (#‘∅)
21		0nn0 11307	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
22		hashfz1 13134	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (#‘(1...0)) = 0)
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#‘(1...0)) = 0
24	20, 23	eqtr3i 2646	. . . 4 ⊢ (#‘∅) = 0
25	24	eqeq2i 2634	. . 3 ⊢ ((#‘𝐴) = (#‘∅) ↔ (#‘𝐴) = 0)
26		en0 8019	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
27	18, 25, 26	3bitr3g 302	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((#‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
28	16, 27	pm2.61d2 172	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((#‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∅c0 3915   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ≈ cen 7952  Fincfn 7955  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937  +∞cpnf 10071  ℕ₀cn0 11292  ...cfz 12326  #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118

This theorem is referenced by:  hashneq0  13155  hashnncl  13157  hash0  13158  hashgt0  13177  hashle00  13188  seqcoll2  13249  prprrab  13255  hashle2pr  13259  hashge2el2difr  13263  wrdind  13476  wrd2ind  13477  swrdccat3a  13494  swrdccat3blem  13495  rev0  13513  repsw0  13524  cshwidx0  13552  fz1f1o  14441  hashbc0  15709  0hashbc  15711  ram0  15726  cshws0  15808  gsmsymgrfix  17848  sylow1lem1  18013  sylow1lem4  18016  sylow2blem3  18037  frgpnabllem1  18276  0ringnnzr  19269  01eq0ring  19272  vieta1lem2  24066  tgldimor  25397  uhgr0vsize0  26131  uhgr0edgfi  26132  usgr1v0e  26218  fusgrfisbase  26220  vtxd0nedgb  26384  vtxdusgr0edgnelALT  26392  usgrvd0nedg  26429  vtxdginducedm1lem4  26438  finsumvtxdg2size  26446  cyclnspth  26695  iswwlksnx  26731  isclwwlksnx  26889  umgrclwwlksge2  26912  clwwisshclwws  26928  hashecclwwlksn1  26954  umgrhashecclwwlk  26955  vdn0conngrumgrv2  27056  frgrwopreg  27187  frrusgrord0lem  27203  frgrregord013  27253  frgrregord13  27254  frgrogt3nreg  27255  friendshipgt3  27256  hasheuni  30147  signstfvn  30646  signstfveq0a  30653  signshnz  30668  elmrsubrn  31417  lindsrng01  42257