Theorem wspn0 26820

Description: If there are no vertices, then there are no simple paths (of any length), too. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Mar-2018.) (Revised by AV, 16-May-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
wspn0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wspn0	⊢ (𝑉 = ∅ → (𝑁 WSPathsN 𝐺) = ∅)

Proof of Theorem wspn0

Dummy variables 𝑓 𝑤 𝑔 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wspthsn 26735	. . . . 5 ⊢ (𝑁 WSPathsN 𝐺) = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤}
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑉 = ∅) → (𝑁 WSPathsN 𝐺) = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤})
3		wwlknbp2 26752	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
4		wspn0.v	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑉 = ∅ → 𝑉 = ∅)
6	4, 5	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑉 = ∅ → (Vtx‘𝐺) = ∅)
7		wrdeq 13327	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = ∅ → Word (Vtx‘𝐺) = Word ∅)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑉 = ∅ → Word (Vtx‘𝐺) = Word ∅)
9	8	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑉 = ∅ → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑤 ∈ Word ∅))
10		0wrd0 13331	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ Word ∅ ↔ 𝑤 = ∅)
11	9, 10	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑉 = ∅ → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑤 = ∅))
12	11	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑉 = ∅) → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑤 = ∅))
13		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 = ∅ → (#‘𝑤) = (#‘∅))
14		hash0 13158	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (#‘∅) = 0
15	13, 14	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 = ∅ → (#‘𝑤) = 0)
16	15	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((#‘𝑤) = (𝑁 + 1) ↔ 0 = (𝑁 + 1)))
17	16	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 = ∅) → ((#‘𝑤) = (𝑁 + 1) ↔ 0 = (𝑁 + 1)))
18		nn0p1gt0 11322	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 < (𝑁 + 1))
19	18	gt0ne0d 10592	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ≠ 0)
20		eqneqall 2805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 + 1) = 0 → ((𝑁 + 1) ≠ 0 → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤))
21	20	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 = (𝑁 + 1) → ((𝑁 + 1) ≠ 0 → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤))
22	21	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 + 1) ≠ 0 → (0 = (𝑁 + 1) → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤))
23	19, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 = (𝑁 + 1) → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤))
24	23	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 = ∅) → (0 = (𝑁 + 1) → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤))
25	17, 24	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 = ∅) → ((#‘𝑤) = (𝑁 + 1) → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤))
26	25	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑤 = ∅ → ((#‘𝑤) = (𝑁 + 1) → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤)))
27	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝑤 = ∅ → ((#‘𝑤) = (𝑁 + 1) → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤)))
28	27	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑉 = ∅) → (𝑤 = ∅ → ((#‘𝑤) = (𝑁 + 1) → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤)))
29	12, 28	sylbid 230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑉 = ∅) → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((#‘𝑤) = (𝑁 + 1) → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤)))
30	29	com3l 89	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((#‘𝑤) = (𝑁 + 1) → (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑉 = ∅) → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤)))
31	30	imp 445	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = (𝑁 + 1)) → (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑉 = ∅) → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤))
32	3, 31	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑉 = ∅) → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤))
33	32	impcom 446	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑉 = ∅) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤)
34	33	ralrimiva 2966	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑉 = ∅) → ∀𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤)
35		rabeq0 3957	. . . . 5 ⊢ ({𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ¬ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤)
36	34, 35	sylibr 224	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑉 = ∅) → {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑤} = ∅)
37	2, 36	eqtrd 2656	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑉 = ∅) → (𝑁 WSPathsN 𝐺) = ∅)
38	37	ex 450	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝑉 = ∅ → (𝑁 WSPathsN 𝐺) = ∅))
39		df-wspthsn 26725	. . . 4 ⊢ WSPathsN = (𝑛 ∈ ℕ0, 𝑔 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝑔) ∣ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝑔)𝑤})
40	39	mpt2ndm0 6875	. . 3 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝑁 WSPathsN 𝐺) = ∅)
41	40	a1d 25	. 2 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝑉 = ∅ → (𝑁 WSPathsN 𝐺) = ∅))
42	38, 41	pm2.61i 176	1 ⊢ (𝑉 = ∅ → (𝑁 WSPathsN 𝐺) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483  ∃wex 1704   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  {crab 2916  Vcvv 3200  ∅c0 3915   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939  ℕ₀cn0 11292  #chash 13117  Word cword 13291  Vtxcvtx 25874  SPathscspths 26609   WWalksN cwwlksn 26718   WSPathsN cwwspthsn 26720

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-wwlks 26722  df-wwlksn 26723  df-wspthsn 26725

This theorem is referenced by: (None)