Theorem elioore 12205

Description: A member of an open interval of reals is a real. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elioore	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem elioore

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo3g 12204	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
2		3ancomb 1047	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
3		xrre2 12001	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	2, 3	sylanb 489	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
5	1, 4	sylbi 207	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650  ℝcr 9935  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074  (,)cioo 12175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-ioo 12179

This theorem is referenced by:  iooval2  12208  elioo4g  12234  ioossre  12235  zltaddlt1le  12324  tgioo  22599  zcld  22616  ioorcl2  23340  lhop2  23778  dvcvx  23783  pilem2  24206  pilem3  24207  pire  24210  tanrpcl  24256  tangtx  24257  tanabsge  24258  sinq34lt0t  24261  cosq14gt0  24262  sineq0  24273  cosne0  24276  tanord  24284  divlogrlim  24381  logno1  24382  logccv  24409  angpieqvd  24558  asinsin  24619  reasinsin  24623  scvxcvx  24712  basellem3  24809  basellem8  24814  vmalogdivsum2  25227  vmalogdivsum  25228  2vmadivsumlem  25229  selberg3lem1  25246  selberg3  25248  selberg4lem1  25249  selberg4  25250  selberg3r  25258  selberg4r  25259  selberg34r  25260  pntrlog2bndlem1  25266  pntrlog2bndlem2  25267  pntrlog2bndlem3  25268  pntrlog2bndlem4  25269  pntrlog2bndlem5  25270  pntrlog2bndlem6a  25271  pntrlog2bndlem6  25272  pntpbnd  25277  pntibndlem3  25281  pntibnd  25282  knoppndvlem3  32505  iooelexlt  33210  relowlssretop  33211  relowlpssretop  33212  tan2h  33401  itg2gt0cn  33465  itggt0cn  33482  ftc1cnnclem  33483  ftc1cnnc  33484  ftc1anclem7  33491  ftc1anclem8  33492  ftc1anc  33493  dvasin  33496  areacirclem1  33500  areacirc  33505  cvgdvgrat  38512  iooabslt  39721  iocopn  39746  iooshift  39748  icoopn  39751  iooiinicc  39769  elioored  39776  iooiinioc  39783  islptre  39851  limciccioolb  39853  limcicciooub  39869  lptre2pt  39872  xlimxrre  40057  sinaover2ne0  40079  icccncfext  40100  cncfiooicclem1  40106  dvbdfbdioolem2  40144  itgcoscmulx  40185  iblcncfioo  40194  wallispilem1  40282  dirkeritg  40319  dirkercncflem2  40321  fourierdlem27  40351  fourierdlem28  40352  fourierdlem31  40355  fourierdlem32  40356  fourierdlem33  40357  fourierdlem39  40363  fourierdlem40  40364  fourierdlem41  40365  fourierdlem47  40370  fourierdlem48  40371  fourierdlem49  40372  fourierdlem56  40379  fourierdlem57  40380  fourierdlem59  40382  fourierdlem60  40383  fourierdlem61  40384  fourierdlem62  40385  fourierdlem64  40387  fourierdlem68  40391  fourierdlem72  40395  fourierdlem73  40396  fourierdlem74  40397  fourierdlem75  40398  fourierdlem76  40399  fourierdlem78  40401  fourierdlem81  40404  fourierdlem84  40407  fourierdlem89  40412  fourierdlem90  40413  fourierdlem91  40414  fourierdlem92  40415  fourierdlem93  40416  fourierdlem97  40420  fourierdlem100  40423  fourierdlem101  40424  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427  fourierdlem111  40434  fourierdlem112  40435  sqwvfoura  40445  sqwvfourb  40446  fouriersw  40448  etransclem23  40474  etransclem46  40497  smfaddlem1  40971  amgmwlem  42548