Theorem dvdslcm 10451

Description: The lcm of two integers is divisible by each of them. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dvdslcm	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (𝑀 lcm 𝑁) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁)))

Proof of Theorem dvdslcm

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvds0 10210	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∥ 0)
2	1	ad2antrr 471	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → 𝑀 ∥ 0)
3		oveq1 5539	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀 lcm 𝑁) = (0 lcm 𝑁))
4		0z 8362	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		lcmcom 10446	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑁 lcm 0) = (0 lcm 𝑁))
6	4, 5	mpan2 415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 lcm 0) = (0 lcm 𝑁))
7		lcm0val 10447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 lcm 0) = 0)
8	6, 7	eqtr3d 2115	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 lcm 𝑁) = 0)
9	3, 8	sylan9eqr 2135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 lcm 𝑁) = 0)
10	9	adantll 459	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 lcm 𝑁) = 0)
11		oveq2 5540	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 lcm 0))
12		lcm0val 10447	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 0) = 0)
13	11, 12	sylan9eqr 2135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 lcm 𝑁) = 0)
14	13	adantlr 460	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 lcm 𝑁) = 0)
15	10, 14	jaodan 743	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 lcm 𝑁) = 0)
16	2, 15	breqtrrd 3811	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → 𝑀 ∥ (𝑀 lcm 𝑁))
17		dvds0 10210	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 0)
18	17	ad2antlr 472	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → 𝑁 ∥ 0)
19	18, 15	breqtrrd 3811	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → 𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁))
20	16, 19	jca 300	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 ∥ (𝑀 lcm 𝑁) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁)))
21		lcmcllem 10449	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)})
22		lcmn0cl 10450	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ)
23		breq2 3789	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑀 lcm 𝑁) → (𝑀 ∥ 𝑛 ↔ 𝑀 ∥ (𝑀 lcm 𝑁)))
24		breq2 3789	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑀 lcm 𝑁) → (𝑁 ∥ 𝑛 ↔ 𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁)))
25	23, 24	anbi12d 456	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑀 lcm 𝑁) → ((𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛) ↔ (𝑀 ∥ (𝑀 lcm 𝑁) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁))))
26	25	elrab3 2750	. . . 4 ⊢ ((𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ → ((𝑀 lcm 𝑁) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)} ↔ (𝑀 ∥ (𝑀 lcm 𝑁) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁))))
27	22, 26	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → ((𝑀 lcm 𝑁) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)} ↔ (𝑀 ∥ (𝑀 lcm 𝑁) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁))))
28	21, 27	mpbid 145	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 ∥ (𝑀 lcm 𝑁) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁)))
29		lcmmndc 10444	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0))
30		exmiddc 777	. . 3 ⊢ (DECID (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) → ((𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) ∨ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)))
31	29, 30	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) ∨ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)))
32	20, 28, 31	mpjaodan 744	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (𝑀 lcm 𝑁) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∨ wo 661  DECID wdc 775   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  {crab 2352   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532  0cc0 6981  ℕcn 8039  ℤcz 8351   ∥ cdvds 10195   lcm clcm 10442

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094  ax-arch 7095  ax-caucvg 7096

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-isom 4931  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-sup 6397  df-inf 6398  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-2 8098  df-3 8099  df-4 8100  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-q 8705  df-rp 8735  df-fz 9030  df-fzo 9153  df-fl 9274  df-mod 9325  df-iseq 9432  df-iexp 9476  df-cj 9729  df-re 9730  df-im 9731  df-rsqrt 9884  df-abs 9885  df-dvds 10196  df-lcm 10443

This theorem is referenced by:  gcddvdslcm  10455  lcmneg  10456  lcmgcdeq  10465  lcmdvdsb  10466