Theorem gcdmultiplez 10410

Description: Extend gcdmultiple 10409 so 𝑁 can be an integer. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gcdmultiplez	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀)

Proof of Theorem gcdmultiplez

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 8362	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		zdceq 8423	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
3	1, 2	mpan2 415	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → DECID 𝑁 = 0)
4		exmiddc 777	. . 3 ⊢ (DECID 𝑁 = 0 → (𝑁 = 0 ∨ ¬ 𝑁 = 0))
5		nncn 8047	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
6		mul01 7493	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀 · 0) = 0)
7	6	oveq2d 5548	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀 gcd (𝑀 · 0)) = (𝑀 gcd 0))
8	5, 7	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 0)) = (𝑀 gcd 0))
9	8	adantr 270	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 0)) = (𝑀 gcd 0))
10		nnnn0 8295	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
11		nn0gcdid0 10372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 gcd 0) = 𝑀)
12	10, 11	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd 0) = 𝑀)
13	12	adantr 270	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 0) = 𝑀)
14	9, 13	eqtrd 2113	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 0)) = 𝑀)
15		oveq2 5540	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑀 · 𝑁) = (𝑀 · 0))
16	15	oveq2d 5548	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = (𝑀 gcd (𝑀 · 0)))
17	16	eqeq1d 2089	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀 ↔ (𝑀 gcd (𝑀 · 0)) = 𝑀))
18	14, 17	syl5ibr 154	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀))
19		df-ne 2246	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑁 = 0)
20		zcn 8356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
21		absmul 9955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) = ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑁)))
22	5, 20, 21	syl2an 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) = ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑁)))
23		nnre 8046	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
24	10	nn0ge0d 8344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑀)
25	23, 24	absidd 10053	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (abs‘𝑀) = 𝑀)
26	25	oveq1d 5547	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑁)) = (𝑀 · (abs‘𝑁)))
27	26	adantr 270	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑁)) = (𝑀 · (abs‘𝑁)))
28	22, 27	eqtrd 2113	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) = (𝑀 · (abs‘𝑁)))
29	28	oveq2d 5548	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (abs‘(𝑀 · 𝑁))) = (𝑀 gcd (𝑀 · (abs‘𝑁))))
30	29	adantr 270	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑀 gcd (abs‘(𝑀 · 𝑁))) = (𝑀 gcd (𝑀 · (abs‘𝑁))))
31		simpll 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℕ)
32	31	nnzd 8468	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℤ)
33		nnz 8370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
34		zmulcl 8404	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
35	33, 34	sylan 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
36	35	adantr 270	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
37		gcdabs2 10381	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (abs‘(𝑀 · 𝑁))) = (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)))
38	32, 36, 37	syl2anc 403	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑀 gcd (abs‘(𝑀 · 𝑁))) = (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)))
39		nnabscl 9986	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
40		gcdmultiple 10409	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (abs‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝑀 gcd (𝑀 · (abs‘𝑁))) = 𝑀)
41	39, 40	sylan2 280	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 gcd (𝑀 · (abs‘𝑁))) = 𝑀)
42	41	anassrs 392	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑀 gcd (𝑀 · (abs‘𝑁))) = 𝑀)
43	30, 38, 42	3eqtr3d 2121	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀)
44	43	expcom 114	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀))
45	19, 44	sylbir 133	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑁 = 0 → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀))
46	18, 45	jaoi 668	. . 3 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ ¬ 𝑁 = 0) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀))
47	3, 4, 46	3syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀))
48	47	anabsi7 545	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 102   ∨ wo 661  DECID wdc 775   = wceq 1284   ∈ wcel 1433   ≠ wne 2245  ‘cfv 4922  (class class class)co 5532  ℂcc 6979  0cc0 6981   · cmul 6986  ℕcn 8039  ℕ₀cn0 8288  ℤcz 8351  abscabs 9883   gcd cgcd 10338

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094  ax-arch 7095  ax-caucvg 7096

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-sup 6397  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-2 8098  df-3 8099  df-4 8100  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-q 8705  df-rp 8735  df-fz 9030  df-fzo 9153  df-fl 9274  df-mod 9325  df-iseq 9432  df-iexp 9476  df-cj 9729  df-re 9730  df-im 9731  df-rsqrt 9884  df-abs 9885  df-dvds 10196  df-gcd 10339

This theorem is referenced by: (None)