Theorem nn0zd 8467

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0zd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0zd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nn0zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssz 8369	. 2 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
2		nn0zd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
3	1, 2	sseldi 2997	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1433  ℕ₀cn0 8288  ℤcz 8351

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352

This theorem is referenced by:  nnzd  8468  fseq1p1m1  9111  difelfznle  9146  flltdivnn0lt  9306  zmodfz  9348  addmodid  9374  modaddmodup  9389  modaddmodlo  9390  modsumfzodifsn  9398  addmodlteq  9400  expnegzap  9510  expaddzaplem  9519  expaddzap  9520  expmulzap  9522  nn0opthd  9649  facdiv  9665  facwordi  9667  faclbnd  9668  facavg  9673  bcval  9676  ibcval5  9690  bcpasc  9693  resqrexlemga  9909  zabscl  9972  dvdsdc  10203  divalglemnn  10318  divalgmod  10327  zeqzmulgcd  10362  gcd0id  10370  gcdneg  10373  gcdaddm  10375  modgcd  10382  bezoutlemnewy  10385  bezoutlemstep  10386  bezoutlemmain  10387  bezoutlemzz  10391  bezoutlemmo  10395  bezoutlemle  10397  bezoutlemsup  10398  dfgcd3  10399  dvdsgcdb  10402  gcdass  10404  mulgcd  10405  gcdzeq  10411  dvdsmulgcd  10414  bezoutr  10421  bezoutr1  10422  nn0seqcvgd  10423  ialgfx  10434  eucalgval2  10435  eucalginv  10438  eucalglt  10439  eucialg  10441  gcddvdslcm  10455  lcmneg  10456  lcmgcdlem  10459  lcmdvds  10461  lcmgcdeq  10465  lcmdvdsb  10466  lcmass  10467  mulgcddvds  10476  rpmulgcd2  10477  qredeu  10479  divgcdcoprm0  10483  divgcdcoprmex  10484  cncongr1  10485  cncongr2  10486  sqnprm  10517  rpexp  10532  sqpweven  10553  2sqpwodd  10554