Theorem gcdzeq 10411

Description: A positive integer 𝐴 is equal to its gcd with an integer 𝐵 if and only if 𝐴 divides 𝐵. Generalization of gcdeq 10412. (Contributed by AV, 1-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
gcdzeq	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 𝐴 ↔ 𝐴 ∥ 𝐵))

Proof of Theorem gcdzeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 8370	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
2		gcddvds 10355	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
3	1, 2	sylan 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
4	3	simprd 112	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)
5		breq1 3788	. . 3 ⊢ ((𝐴 gcd 𝐵) = 𝐴 → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ 𝐵))
6	4, 5	syl5ibcom 153	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 𝐴 → 𝐴 ∥ 𝐵))
7	1	adantr 270	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
8		iddvds 10208	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∥ 𝐴)
9	7, 8	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∥ 𝐴)
10		simpr 108	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
11		nnne0 8067	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)
12		simpl 107	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 = 0)
13	12	necon3ai 2294	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ 0 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
14	11, 13	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
15	14	adantr 270	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
16		dvdslegcd 10356	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ((𝐴 ∥ 𝐴 ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → 𝐴 ≤ (𝐴 gcd 𝐵)))
17	7, 7, 10, 15, 16	syl31anc 1172	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 ∥ 𝐴 ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → 𝐴 ≤ (𝐴 gcd 𝐵)))
18	9, 17	mpand 419	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ 𝐵 → 𝐴 ≤ (𝐴 gcd 𝐵)))
19	3	simpld 110	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴)
20		gcdcl 10358	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ0)
21	1, 20	sylan 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ0)
22	21	nn0zd 8467	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
23		simpl 107	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℕ)
24		dvdsle 10244	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 → (𝐴 gcd 𝐵) ≤ 𝐴))
25	22, 23, 24	syl2anc 403	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 → (𝐴 gcd 𝐵) ≤ 𝐴))
26	19, 25	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ≤ 𝐴)
27	18, 26	jctild 309	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ 𝐵 → ((𝐴 gcd 𝐵) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ (𝐴 gcd 𝐵))))
28	21	nn0red 8342	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℝ)
29		nnre 8046	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
30	29	adantr 270	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
31	28, 30	letri3d 7226	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 𝐴 ↔ ((𝐴 gcd 𝐵) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ (𝐴 gcd 𝐵))))
32	27, 31	sylibrd 167	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ 𝐵 → (𝐴 gcd 𝐵) = 𝐴))
33	6, 32	impbid 127	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 𝐴 ↔ 𝐴 ∥ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   = wceq 1284   ∈ wcel 1433   ≠ wne 2245   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532  ℝcr 6980  0cc0 6981   ≤ cle 7154  ℕcn 8039  ℕ₀cn0 8288  ℤcz 8351   ∥ cdvds 10195   gcd cgcd 10338

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094  ax-arch 7095  ax-caucvg 7096

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-sup 6397  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-2 8098  df-3 8099  df-4 8100  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-q 8705  df-rp 8735  df-fz 9030  df-fzo 9153  df-fl 9274  df-mod 9325  df-iseq 9432  df-iexp 9476  df-cj 9729  df-re 9730  df-im 9731  df-rsqrt 9884  df-abs 9885  df-dvds 10196  df-gcd 10339

This theorem is referenced by:  gcdeq  10412  isevengcd2  10537