Theorem 0lepnf 11966

Description: 0 less than or equal to positive infinity. (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0lepnf	|- 0 <_ +oo

Proof of Theorem 0lepnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 10086	. 2 |- 0 e. RR*
2		pnfge 11964	. 2 |- ( 0 e. RR* -> 0 <_ +oo )
3	1, 2	ax-mp 5	1 |- 0 <_ +oo

Syntax hints:   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   0cc0 9936   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   <_ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-cnv 5122  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080

This theorem is referenced by:  xnn0ge0  11967  nn0pnfge0OLD  11968  xsubge0  12091  xadddi2  12127  xnn0xrge0  12325  pcge0  15566  leordtval2  21016  iccpnfcnv  22743  taylfval  24113  elxrge02  29640  xrge0adddir  29692  xrge0iifcnv  29979  lmxrge0  29998  esumpinfval  30135  hashf2  30146  esumcvg  30148  pnfel0pnf  39754