Theorem esumpinfval 30135

Description: The value of the extended sum of nonnegative terms, with at least one infinite term. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumpinfval.0	|- F/ k ph
esumpinfval.1	|- ( ph -> A e. V )
esumpinfval.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
esumpinfval.3	|- ( ph -> E. k e. A B = +oo )

Assertion

Ref	Expression
esumpinfval	|- ( ph -> Σ* k e. A B = +oo )

Distinct variable groups:   A, k   k, V

Allowed substitution hints:   ph( k)   B( k)

Proof of Theorem esumpinfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 12256	. . 3 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
2		esumpinfval.1	. . . 4 |- ( ph -> A e. V )
3		esumpinfval.0	. . . . 5 |- F/ k ph
4		esumpinfval.2	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
5	4	ex 450	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. A -> B e. ( 0 [,] +oo ) ) )
6	3, 5	ralrimi 2957	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. A B e. ( 0 [,] +oo ) )
7		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ k A
8	7	esumcl 30092	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ A. k e. A B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* k e. A B e. ( 0 [,] +oo ) )
9	2, 6, 8	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> Σ* k e. A B e. ( 0 [,] +oo ) )
10	1, 9	sseldi 3601	. 2 |- ( ph -> Σ* k e. A B e. RR* )
11		nfrab1 3122	. . . . 5 |- F/_ k { k e. A | B = +oo }
12		ssrab2 3687	. . . . . 6 |- { k e. A | B = +oo } C_ A
13	12	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> { k e. A | B = +oo } C_ A )
14		0xr 10086	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR*
15		pnfxr 10092	. . . . . . . 8 |- +oo e. RR*
16		0lepnf 11966	. . . . . . . 8 |- 0 <_ +oo
17		ubicc2 12289	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ 0 <_ +oo ) -> +oo e. ( 0 [,] +oo ) )
18	14, 15, 16, 17	mp3an 1424	. . . . . . 7 |- +oo e. ( 0 [,] +oo )
19	18	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ B = +oo ) -> +oo e. ( 0 [,] +oo ) )
20		0e0iccpnf 12283	. . . . . . 7 |- 0 e. ( 0 [,] +oo )
21	20	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ -. B = +oo ) -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
22	19, 21	ifclda 4120	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( B = +oo , +oo , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
23		eldif 3584	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( A \ { k e. A | B = +oo } ) <-> ( k e. A /\ -. k e. { k e. A | B = +oo } ) )
24		rabid 3116	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. { k e. A | B = +oo } <-> ( k e. A /\ B = +oo ) )
25	24	simplbi2 655	. . . . . . . . 9 |- ( k e. A -> ( B = +oo -> k e. { k e. A | B = +oo } ) )
26	25	con3dimp 457	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. A /\ -. k e. { k e. A | B = +oo } ) -> -. B = +oo )
27	23, 26	sylbi 207	. . . . . . 7 |- ( k e. ( A \ { k e. A | B = +oo } ) -> -. B = +oo )
28	27	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( A \ { k e. A | B = +oo } ) ) -> -. B = +oo )
29	28	iffalsed 4097	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( A \ { k e. A | B = +oo } ) ) -> if ( B = +oo , +oo , 0 ) = 0 )
30	3, 11, 7, 13, 2, 22, 29	esumss 30134	. . . 4 |- ( ph -> Σ* k e. { k e. A | B = +oo } if ( B = +oo , +oo , 0 ) = Σ* k e. A if ( B = +oo , +oo , 0 ) )
31		eqidd 2623	. . . . . 6 |- ( ph -> { k e. A | B = +oo } = { k e. A | B = +oo } )
32	24	simprbi 480	. . . . . . . 8 |- ( k e. { k e. A | B = +oo } -> B = +oo )
33	32	iftrued 4094	. . . . . . 7 |- ( k e. { k e. A | B = +oo } -> if ( B = +oo , +oo , 0 ) = +oo )
34	33	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. { k e. A | B = +oo } ) -> if ( B = +oo , +oo , 0 ) = +oo )
35	3, 31, 34	esumeq12dvaf 30093	. . . . 5 |- ( ph -> Σ* k e. { k e. A | B = +oo } if ( B = +oo , +oo , 0 ) = Σ* k e. { k e. A | B = +oo } +oo )
36	2, 13	ssexd 4805	. . . . . 6 |- ( ph -> { k e. A | B = +oo } e. _V )
37		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ k +oo
38	11, 37	esumcst 30125	. . . . . 6 |- ( ( { k e. A | B = +oo } e. _V /\ +oo e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* k e. { k e. A | B = +oo } +oo = ( ( # ` { k e. A | B = +oo } ) xe +oo ) )
39	36, 18, 38	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ph -> Σ* k e. { k e. A | B = +oo } +oo = ( ( # ` { k e. A | B = +oo } ) xe +oo ) )
40		hashxrcl 13148	. . . . . . 7 |- ( { k e. A | B = +oo } e. _V -> ( # ` { k e. A | B = +oo } ) e. RR* )
41	36, 40	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( # ` { k e. A | B = +oo } ) e. RR* )
42		esumpinfval.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E. k e. A B = +oo )
43		rabn0 3958	. . . . . . . 8 |- ( { k e. A | B = +oo } =/= (/) <-> E. k e. A B = +oo )
44	42, 43	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ph -> { k e. A | B = +oo } =/= (/) )
45		hashgt0 13177	. . . . . . 7 |- ( ( { k e. A | B = +oo } e. _V /\ { k e. A | B = +oo } =/= (/) ) -> 0 < ( # ` { k e. A | B = +oo } ) )
46	36, 44, 45	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 < ( # ` { k e. A | B = +oo } ) )
47		xmulpnf1 12104	. . . . . 6 |- ( ( ( # ` { k e. A | B = +oo } ) e. RR* /\ 0 < ( # ` { k e. A | B = +oo } ) ) -> ( ( # ` { k e. A | B = +oo } ) xe +oo ) = +oo )
48	41, 46, 47	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( # ` { k e. A | B = +oo } ) xe +oo ) = +oo )
49	35, 39, 48	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( ph -> Σ* k e. { k e. A | B = +oo } if ( B = +oo , +oo , 0 ) = +oo )
50	30, 49	eqtr3d 2658	. . 3 |- ( ph -> Σ* k e. A if ( B = +oo , +oo , 0 ) = +oo )
51		breq1 4656	. . . . 5 |- ( +oo = if ( B = +oo , +oo , 0 ) -> ( +oo <_ B <-> if ( B = +oo , +oo , 0 ) <_ B ) )
52		breq1 4656	. . . . 5 |- ( 0 = if ( B = +oo , +oo , 0 ) -> ( 0 <_ B <-> if ( B = +oo , +oo , 0 ) <_ B ) )
53		pnfge 11964	. . . . . . . 8 |- ( +oo e. RR* -> +oo <_ +oo )
54	15, 53	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- +oo <_ +oo
55		breq2 4657	. . . . . . 7 |- ( B = +oo -> ( +oo <_ B <-> +oo <_ +oo ) )
56	54, 55	mpbiri 248	. . . . . 6 |- ( B = +oo -> +oo <_ B )
57	56	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ B = +oo ) -> +oo <_ B )
58	4	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ -. B = +oo ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
59		iccgelb 12230	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> 0 <_ B )
60	14, 15, 59	mp3an12 1414	. . . . . 6 |- ( B e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ B )
61	58, 60	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ -. B = +oo ) -> 0 <_ B )
62	51, 52, 57, 61	ifbothda 4123	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( B = +oo , +oo , 0 ) <_ B )
63	3, 7, 2, 22, 4, 62	esumlef 30124	. . 3 |- ( ph -> Σ* k e. A if ( B = +oo , +oo , 0 ) <_ Σ* k e. A B )
64	50, 63	eqbrtrrd 4677	. 2 |- ( ph -> +oo <_ Σ* k e. A B )
65		xgepnf 11996	. . 3 |- (Σ* k e. A B e. RR* -> ( +oo <_ Σ* k e. A B <-> Σ* k e. A B = +oo ) )
66	65	biimpd 219	. 2 |- (Σ* k e. A B e. RR* -> ( +oo <_ Σ* k e. A B -> Σ* k e. A B = +oo ) )
67	10, 64, 66	sylc 65	1 |- ( ph -> Σ* k e. A B = +oo )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   xecxmu 11945   [,]cicc 12178   #chash 13117  Σ^*cesum 30089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-ordt 16161  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-plusf 17241  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-abv 18817  df-lmod 18865  df-scaf 18866  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-tmd 21876  df-tgp 21877  df-tsms 21930  df-trg 21963  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-nrg 22390  df-nlm 22391  df-ii 22680  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-esum 30090

This theorem is referenced by:  hasheuni  30147  esumcvg  30148  esumcvgre  30153  voliune  30292  volfiniune  30293