Theorem xsubge0 12091

Description: Extended real version of subge0 10541. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xsubge0	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( 0 <_ ( A +e -e B ) <-> B <_ A ) )

Proof of Theorem xsubge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 11950	. 2 |- ( B e. RR* <-> ( B e. RR \/ B = +oo \/ B = -oo ) )
2		0xr 10086	. . . . . 6 |- 0 e. RR*
3	2	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> 0 e. RR* )
4		rexr 10085	. . . . . 6 |- ( B e. RR -> B e. RR* )
5		xnegcl 12044	. . . . . . 7 |- ( B e. RR* -> -e B e. RR* )
6		xaddcl 12070	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR* /\ -e B e. RR* ) -> ( A +e -e B ) e. RR* )
7	5, 6	sylan2 491	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A +e -e B ) e. RR* )
8	4, 7	sylan2 491	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( A +e -e B ) e. RR* )
9		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> B e. RR )
10		xleadd1 12085	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR* /\ ( A +e -e B ) e. RR* /\ B e. RR ) -> ( 0 <_ ( A +e -e B ) <-> ( 0 +e B ) <_ ( ( A +e -e B ) +e B ) ) )
11	3, 8, 9, 10	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( 0 <_ ( A +e -e B ) <-> ( 0 +e B ) <_ ( ( A +e -e B ) +e B ) ) )
12	4	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> B e. RR* )
13		xaddid2 12073	. . . . . 6 |- ( B e. RR* -> ( 0 +e B ) = B )
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( 0 +e B ) = B )
15		xnpcan 12082	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( ( A +e -e B ) +e B ) = A )
16	14, 15	breq12d 4666	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( ( 0 +e B ) <_ ( ( A +e -e B ) +e B ) <-> B <_ A ) )
17	11, 16	bitrd 268	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( 0 <_ ( A +e -e B ) <-> B <_ A ) )
18		pnfxr 10092	. . . . . . 7 |- +oo e. RR*
19		xrletri3 11985	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( A = +oo <-> ( A <_ +oo /\ +oo <_ A ) ) )
20	18, 19	mpan2 707	. . . . . 6 |- ( A e. RR* -> ( A = +oo <-> ( A <_ +oo /\ +oo <_ A ) ) )
21		mnflt0 11959	. . . . . . . . . . 11 |- -oo < 0
22		mnfxr 10096	. . . . . . . . . . . 12 |- -oo e. RR*
23		xrltnle 10105	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -oo e. RR* /\ 0 e. RR* ) -> ( -oo < 0 <-> -. 0 <_ -oo ) )
24	22, 2, 23	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 |- ( -oo < 0 <-> -. 0 <_ -oo )
25	21, 24	mpbi 220	. . . . . . . . . 10 |- -. 0 <_ -oo
26		xaddmnf1 12059	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR* /\ A =/= +oo ) -> ( A +e -oo ) = -oo )
27	26	breq2d 4665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR* /\ A =/= +oo ) -> ( 0 <_ ( A +e -oo ) <-> 0 <_ -oo ) )
28	25, 27	mtbiri 317	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ A =/= +oo ) -> -. 0 <_ ( A +e -oo ) )
29	28	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR* -> ( A =/= +oo -> -. 0 <_ ( A +e -oo ) ) )
30	29	necon4ad 2813	. . . . . . 7 |- ( A e. RR* -> ( 0 <_ ( A +e -oo ) -> A = +oo ) )
31		0le0 11110	. . . . . . . 8 |- 0 <_ 0
32		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( A = +oo -> ( A +e -oo ) = ( +oo +e -oo ) )
33		pnfaddmnf 12061	. . . . . . . . 9 |- ( +oo +e -oo ) = 0
34	32, 33	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( A = +oo -> ( A +e -oo ) = 0 )
35	31, 34	syl5breqr 4691	. . . . . . 7 |- ( A = +oo -> 0 <_ ( A +e -oo ) )
36	30, 35	impbid1 215	. . . . . 6 |- ( A e. RR* -> ( 0 <_ ( A +e -oo ) <-> A = +oo ) )
37		pnfge 11964	. . . . . . 7 |- ( A e. RR* -> A <_ +oo )
38	37	biantrurd 529	. . . . . 6 |- ( A e. RR* -> ( +oo <_ A <-> ( A <_ +oo /\ +oo <_ A ) ) )
39	20, 36, 38	3bitr4d 300	. . . . 5 |- ( A e. RR* -> ( 0 <_ ( A +e -oo ) <-> +oo <_ A ) )
40	39	adantr 481	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B = +oo ) -> ( 0 <_ ( A +e -oo ) <-> +oo <_ A ) )
41		xnegeq 12038	. . . . . . . 8 |- ( B = +oo -> -e B = -e +oo )
42		xnegpnf 12040	. . . . . . . 8 |- -e +oo = -oo
43	41, 42	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( B = +oo -> -e B = -oo )
44	43	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B = +oo ) -> -e B = -oo )
45	44	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B = +oo ) -> ( A +e -e B ) = ( A +e -oo ) )
46	45	breq2d 4665	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B = +oo ) -> ( 0 <_ ( A +e -e B ) <-> 0 <_ ( A +e -oo ) ) )
47		breq1 4656	. . . . 5 |- ( B = +oo -> ( B <_ A <-> +oo <_ A ) )
48	47	adantl 482	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B = +oo ) -> ( B <_ A <-> +oo <_ A ) )
49	40, 46, 48	3bitr4d 300	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B = +oo ) -> ( 0 <_ ( A +e -e B ) <-> B <_ A ) )
50		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( A = -oo -> ( A +e +oo ) = ( -oo +e +oo ) )
51		mnfaddpnf 12062	. . . . . . . . . 10 |- ( -oo +e +oo ) = 0
52	50, 51	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 |- ( A = -oo -> ( A +e +oo ) = 0 )
53	52	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ A = -oo ) -> ( A +e +oo ) = 0 )
54	31, 53	syl5breqr 4691	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR* /\ A = -oo ) -> 0 <_ ( A +e +oo ) )
55		0lepnf 11966	. . . . . . . 8 |- 0 <_ +oo
56		xaddpnf1 12057	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ A =/= -oo ) -> ( A +e +oo ) = +oo )
57	55, 56	syl5breqr 4691	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR* /\ A =/= -oo ) -> 0 <_ ( A +e +oo ) )
58	54, 57	pm2.61dane 2881	. . . . . 6 |- ( A e. RR* -> 0 <_ ( A +e +oo ) )
59		mnfle 11969	. . . . . 6 |- ( A e. RR* -> -oo <_ A )
60	58, 59	2thd 255	. . . . 5 |- ( A e. RR* -> ( 0 <_ ( A +e +oo ) <-> -oo <_ A ) )
61	60	adantr 481	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B = -oo ) -> ( 0 <_ ( A +e +oo ) <-> -oo <_ A ) )
62		xnegeq 12038	. . . . . . . 8 |- ( B = -oo -> -e B = -e -oo )
63		xnegmnf 12041	. . . . . . . 8 |- -e -oo = +oo
64	62, 63	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( B = -oo -> -e B = +oo )
65	64	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B = -oo ) -> -e B = +oo )
66	65	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B = -oo ) -> ( A +e -e B ) = ( A +e +oo ) )
67	66	breq2d 4665	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B = -oo ) -> ( 0 <_ ( A +e -e B ) <-> 0 <_ ( A +e +oo ) ) )
68		breq1 4656	. . . . 5 |- ( B = -oo -> ( B <_ A <-> -oo <_ A ) )
69	68	adantl 482	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B = -oo ) -> ( B <_ A <-> -oo <_ A ) )
70	61, 67, 69	3bitr4d 300	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B = -oo ) -> ( 0 <_ ( A +e -e B ) <-> B <_ A ) )
71	17, 49, 70	3jaodan 1394	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR \/ B = +oo \/ B = -oo ) ) -> ( 0 <_ ( A +e -e B ) <-> B <_ A ) )
72	1, 71	sylan2b 492	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( 0 <_ ( A +e -e B ) <-> B <_ A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   \/ w3o 1036   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   +oocpnf 10071   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   -ecxne 11943   +ecxad 11944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-xneg 11946  df-xadd 11947

This theorem is referenced by:  xposdif  12092  ssblps  22227  ssbl  22228  xrsxmet  22612  xrge0subcld  29528  esumle  30120  esumlef  30124