Theorem xadddi2 12127

Description: The assumption that the multiplier be real in xadddi 12125 can be relaxed if the addends have the same sign. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xadddi2	|- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )

Proof of Theorem xadddi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A e. RR ) -> A e. RR )
2		simp2l 1087	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> B e. RR* )
3	2	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A e. RR ) -> B e. RR* )
4		simp3l 1089	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> C e. RR* )
5	4	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A e. RR ) -> C e. RR* )
6		xadddi 12125	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
7	1, 3, 5, 6	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A e. RR ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
8		pnfxr 10092	. . . . . 6 |- +oo e. RR*
9	4	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> C e. RR* )
10	9	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = +oo ) -> C e. RR* )
11		xmulcl 12103	. . . . . 6 |- ( ( +oo e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( +oo xe C ) e. RR* )
12	8, 10, 11	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = +oo ) -> ( +oo xe C ) e. RR* )
13	8, 9, 11	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( +oo xe C ) e. RR* )
14		simpl3r 1117	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> 0 <_ C )
15		0lepnf 11966	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ +oo
16		xmulge0 12114	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( +oo e. RR* /\ 0 <_ +oo ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> 0 <_ ( +oo xe C ) )
17	8, 15, 16	mpanl12 718	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) -> 0 <_ ( +oo xe C ) )
18	9, 14, 17	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> 0 <_ ( +oo xe C ) )
19		ge0nemnf 12004	. . . . . . 7 |- ( ( ( +oo xe C ) e. RR* /\ 0 <_ ( +oo xe C ) ) -> ( +oo xe C ) =/= -oo )
20	13, 18, 19	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( +oo xe C ) =/= -oo )
21	20	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = +oo ) -> ( +oo xe C ) =/= -oo )
22		xaddpnf2 12058	. . . . 5 |- ( ( ( +oo xe C ) e. RR* /\ ( +oo xe C ) =/= -oo ) -> ( +oo +e ( +oo xe C ) ) = +oo )
23	12, 21, 22	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = +oo ) -> ( +oo +e ( +oo xe C ) ) = +oo )
24		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( A = +oo -> ( A xe B ) = ( +oo xe B ) )
25		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( A = +oo -> ( A xe C ) = ( +oo xe C ) )
26	24, 25	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( A = +oo -> ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) = ( ( +oo xe B ) +e ( +oo xe C ) ) )
27		xmulpnf2 12105	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR* /\ 0 < B ) -> ( +oo xe B ) = +oo )
28	2, 27	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( +oo xe B ) = +oo )
29	28	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( ( +oo xe B ) +e ( +oo xe C ) ) = ( +oo +e ( +oo xe C ) ) )
30	26, 29	sylan9eqr 2678	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = +oo ) -> ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) = ( +oo +e ( +oo xe C ) ) )
31		oveq1 6657	. . . . 5 |- ( A = +oo -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( +oo xe ( B +e C ) ) )
32		xaddcl 12070	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( B +e C ) e. RR* )
33	2, 4, 32	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> ( B +e C ) e. RR* )
34	33	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( B +e C ) e. RR* )
35		0xr 10086	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR*
36	35	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> 0 e. RR* )
37	2	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> B e. RR* )
38		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> 0 < B )
39		xaddid1 12072	. . . . . . . . 9 |- ( B e. RR* -> ( B +e 0 ) = B )
40	37, 39	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( B +e 0 ) = B )
41		xleadd2a 12084	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 0 e. RR* /\ C e. RR* /\ B e. RR* ) /\ 0 <_ C ) -> ( B +e 0 ) <_ ( B +e C ) )
42	36, 9, 37, 14, 41	syl31anc 1329	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( B +e 0 ) <_ ( B +e C ) )
43	40, 42	eqbrtrrd 4677	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> B <_ ( B +e C ) )
44	36, 37, 34, 38, 43	xrltletrd 11992	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> 0 < ( B +e C ) )
45		xmulpnf2 12105	. . . . . 6 |- ( ( ( B +e C ) e. RR* /\ 0 < ( B +e C ) ) -> ( +oo xe ( B +e C ) ) = +oo )
46	34, 44, 45	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( +oo xe ( B +e C ) ) = +oo )
47	31, 46	sylan9eqr 2678	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = +oo ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = +oo )
48	23, 30, 47	3eqtr4rd 2667	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = +oo ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
49		mnfxr 10096	. . . . . . 7 |- -oo e. RR*
50		xmulcl 12103	. . . . . . 7 |- ( ( -oo e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( -oo xe C ) e. RR* )
51	49, 9, 50	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( -oo xe C ) e. RR* )
52		xnegmnf 12041	. . . . . . . . . . . 12 |- -e -oo = +oo
53	52	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . 11 |- ( -e -oo xe C ) = ( +oo xe C )
54		xmulneg1 12099	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -oo e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( -e -oo xe C ) = -e ( -oo xe C ) )
55	49, 9, 54	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( -e -oo xe C ) = -e ( -oo xe C ) )
56	53, 55	syl5reqr 2671	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> -e ( -oo xe C ) = ( +oo xe C ) )
57		xnegpnf 12040	. . . . . . . . . . 11 |- -e +oo = -oo
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> -e +oo = -oo )
59	56, 58	eqeq12d 2637	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( -e ( -oo xe C ) = -e +oo <-> ( +oo xe C ) = -oo ) )
60		xneg11 12046	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( -oo xe C ) e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( -e ( -oo xe C ) = -e +oo <-> ( -oo xe C ) = +oo ) )
61	51, 8, 60	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( -e ( -oo xe C ) = -e +oo <-> ( -oo xe C ) = +oo ) )
62	59, 61	bitr3d 270	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( ( +oo xe C ) = -oo <-> ( -oo xe C ) = +oo ) )
63	62	necon3bid 2838	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( ( +oo xe C ) =/= -oo <-> ( -oo xe C ) =/= +oo ) )
64	20, 63	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( -oo xe C ) =/= +oo )
65		xaddmnf2 12060	. . . . . 6 |- ( ( ( -oo xe C ) e. RR* /\ ( -oo xe C ) =/= +oo ) -> ( -oo +e ( -oo xe C ) ) = -oo )
66	51, 64, 65	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( -oo +e ( -oo xe C ) ) = -oo )
67	66	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = -oo ) -> ( -oo +e ( -oo xe C ) ) = -oo )
68		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( A = -oo -> ( A xe B ) = ( -oo xe B ) )
69		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( A = -oo -> ( A xe C ) = ( -oo xe C ) )
70	68, 69	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( A = -oo -> ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) = ( ( -oo xe B ) +e ( -oo xe C ) ) )
71		xmulmnf2 12107	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR* /\ 0 < B ) -> ( -oo xe B ) = -oo )
72	2, 71	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( -oo xe B ) = -oo )
73	72	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( ( -oo xe B ) +e ( -oo xe C ) ) = ( -oo +e ( -oo xe C ) ) )
74	70, 73	sylan9eqr 2678	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = -oo ) -> ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) = ( -oo +e ( -oo xe C ) ) )
75		oveq1 6657	. . . . 5 |- ( A = -oo -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( -oo xe ( B +e C ) ) )
76		xmulmnf2 12107	. . . . . 6 |- ( ( ( B +e C ) e. RR* /\ 0 < ( B +e C ) ) -> ( -oo xe ( B +e C ) ) = -oo )
77	34, 44, 76	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( -oo xe ( B +e C ) ) = -oo )
78	75, 77	sylan9eqr 2678	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = -oo ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = -oo )
79	67, 74, 78	3eqtr4rd 2667	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) /\ A = -oo ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
80		simpl1 1064	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> A e. RR* )
81		elxr 11950	. . . 4 |- ( A e. RR* <-> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
82	80, 81	sylib 208	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
83	7, 48, 79, 82	mpjao3dan 1395	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 < B ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
84		simp1 1061	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> A e. RR* )
85		xmulcl 12103	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A xe C ) e. RR* )
86	84, 4, 85	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> ( A xe C ) e. RR* )
87	86	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 = B ) -> ( A xe C ) e. RR* )
88		xaddid2 12073	. . . 4 |- ( ( A xe C ) e. RR* -> ( 0 +e ( A xe C ) ) = ( A xe C ) )
89	87, 88	syl 17	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 = B ) -> ( 0 +e ( A xe C ) ) = ( A xe C ) )
90		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( 0 = B -> ( A xe 0 ) = ( A xe B ) )
91	90	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( 0 = B -> ( A xe B ) = ( A xe 0 ) )
92		xmul01 12097	. . . . . 6 |- ( A e. RR* -> ( A xe 0 ) = 0 )
93	92	3ad2ant1 1082	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> ( A xe 0 ) = 0 )
94	91, 93	sylan9eqr 2678	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 = B ) -> ( A xe B ) = 0 )
95	94	oveq1d 6665	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 = B ) -> ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) = ( 0 +e ( A xe C ) ) )
96		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( 0 = B -> ( 0 +e C ) = ( B +e C ) )
97	96	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( 0 = B -> ( B +e C ) = ( 0 +e C ) )
98		xaddid2 12073	. . . . . 6 |- ( C e. RR* -> ( 0 +e C ) = C )
99	4, 98	syl 17	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> ( 0 +e C ) = C )
100	97, 99	sylan9eqr 2678	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 = B ) -> ( B +e C ) = C )
101	100	oveq2d 6666	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 = B ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( A xe C ) )
102	89, 95, 101	3eqtr4rd 2667	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) /\ 0 = B ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )
103		simp2r 1088	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> 0 <_ B )
104		xrleloe 11977	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( 0 <_ B <-> ( 0 < B \/ 0 = B ) ) )
105	35, 2, 104	sylancr 695	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> ( 0 <_ B <-> ( 0 < B \/ 0 = B ) ) )
106	103, 105	mpbid 222	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> ( 0 < B \/ 0 = B ) )
107	83, 102, 106	mpjaodan 827	1 |- ( ( A e. RR* /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 <_ C ) ) -> ( A xe ( B +e C ) ) = ( ( A xe B ) +e ( A xe C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   \/ w3o 1036   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   +oocpnf 10071   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   -ecxne 11943   +ecxad 11944   xecxmu 11945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948

This theorem is referenced by:  xadddi2r  12128