Theorem 2zrngagrp 41943

Description: R is an (additive) group. (Contributed by AV, 6-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
2zrng.e	|- E = { z e. ZZ | E. x e. ZZ z = ( 2 x. x ) }
2zrngbas.r	|- R = (ℂfld ↾s E )

Assertion

Ref	Expression
2zrngagrp	|- R e. Grp

Distinct variable groups:   x, z, R   x, E, z

Proof of Theorem 2zrngagrp

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2zrng.e	. . 3 |- E = { z e. ZZ | E. x e. ZZ z = ( 2 x. x ) }
2		2zrngbas.r	. . 3 |- R = (ℂfld ↾s E )
3	1, 2	2zrngamnd 41941	. 2 |- R e. Mnd
4		eqeq1 2626	. . . . . . 7 |- ( z = y -> ( z = ( 2 x. x ) <-> y = ( 2 x. x ) ) )
5	4	rexbidv 3052	. . . . . 6 |- ( z = y -> ( E. x e. ZZ z = ( 2 x. x ) <-> E. x e. ZZ y = ( 2 x. x ) ) )
6	5, 1	elrab2 3366	. . . . 5 |- ( y e. E <-> ( y e. ZZ /\ E. x e. ZZ y = ( 2 x. x ) ) )
7		znegcl 11412	. . . . . . 7 |- ( y e. ZZ -> -u y e. ZZ )
8	7	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( y e. ZZ /\ E. x e. ZZ y = ( 2 x. x ) ) -> -u y e. ZZ )
9		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ x y e. ZZ
10		nfre1 3005	. . . . . . . 8 |- F/ x E. x e. ZZ -u y = ( 2 x. x )
11		znegcl 11412	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ZZ -> -u x e. ZZ )
12	11	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> -u x e. ZZ )
13	12	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. ZZ /\ x e. ZZ ) /\ y = ( 2 x. x ) ) -> -u x e. ZZ )
14		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = -u x -> ( 2 x. z ) = ( 2 x. -u x ) )
15	14	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = -u x -> ( -u y = ( 2 x. z ) <-> -u y = ( 2 x. -u x ) ) )
16	15	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y e. ZZ /\ x e. ZZ ) /\ y = ( 2 x. x ) ) /\ z = -u x ) -> ( -u y = ( 2 x. z ) <-> -u y = ( 2 x. -u x ) ) )
17		negeq 10273	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( 2 x. x ) -> -u y = -u ( 2 x. x ) )
18		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ZZ -> 2 e. CC )
19		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
20	18, 19	mulneg2d 10484	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ZZ -> ( 2 x. -u x ) = -u ( 2 x. x ) )
21	20	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ZZ -> -u ( 2 x. x ) = ( 2 x. -u x ) )
22	21	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> -u ( 2 x. x ) = ( 2 x. -u x ) )
23	17, 22	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. ZZ /\ x e. ZZ ) /\ y = ( 2 x. x ) ) -> -u y = ( 2 x. -u x ) )
24	13, 16, 23	rspcedvd 3317	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. ZZ /\ x e. ZZ ) /\ y = ( 2 x. x ) ) -> E. z e. ZZ -u y = ( 2 x. z ) )
25		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. z ) )
26	25	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( -u y = ( 2 x. x ) <-> -u y = ( 2 x. z ) ) )
27	26	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . 10 |- ( E. x e. ZZ -u y = ( 2 x. x ) <-> E. z e. ZZ -u y = ( 2 x. z ) )
28	24, 27	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. ZZ /\ x e. ZZ ) /\ y = ( 2 x. x ) ) -> E. x e. ZZ -u y = ( 2 x. x ) )
29	28	exp31 630	. . . . . . . 8 |- ( y e. ZZ -> ( x e. ZZ -> ( y = ( 2 x. x ) -> E. x e. ZZ -u y = ( 2 x. x ) ) ) )
30	9, 10, 29	rexlimd 3026	. . . . . . 7 |- ( y e. ZZ -> ( E. x e. ZZ y = ( 2 x. x ) -> E. x e. ZZ -u y = ( 2 x. x ) ) )
31	30	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( y e. ZZ /\ E. x e. ZZ y = ( 2 x. x ) ) -> E. x e. ZZ -u y = ( 2 x. x ) )
32		eqeq1 2626	. . . . . . . 8 |- ( z = -u y -> ( z = ( 2 x. x ) <-> -u y = ( 2 x. x ) ) )
33	32	rexbidv 3052	. . . . . . 7 |- ( z = -u y -> ( E. x e. ZZ z = ( 2 x. x ) <-> E. x e. ZZ -u y = ( 2 x. x ) ) )
34	33, 1	elrab2 3366	. . . . . 6 |- ( -u y e. E <-> ( -u y e. ZZ /\ E. x e. ZZ -u y = ( 2 x. x ) ) )
35	8, 31, 34	sylanbrc 698	. . . . 5 |- ( ( y e. ZZ /\ E. x e. ZZ y = ( 2 x. x ) ) -> -u y e. E )
36	6, 35	sylbi 207	. . . 4 |- ( y e. E -> -u y e. E )
37		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( z = -u y -> ( z + y ) = ( -u y + y ) )
38	37	eqeq1d 2624	. . . . 5 |- ( z = -u y -> ( ( z + y ) = 0 <-> ( -u y + y ) = 0 ) )
39	38	adantl 482	. . . 4 |- ( ( y e. E /\ z = -u y ) -> ( ( z + y ) = 0 <-> ( -u y + y ) = 0 ) )
40		elrabi 3359	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { z e. ZZ | E. x e. ZZ z = ( 2 x. x ) } -> y e. ZZ )
41	40, 1	eleq2s 2719	. . . . . . . 8 |- ( y e. E -> y e. ZZ )
42	41	zcnd 11483	. . . . . . 7 |- ( y e. E -> y e. CC )
43	42	negcld 10379	. . . . . 6 |- ( y e. E -> -u y e. CC )
44	43, 42	addcomd 10238	. . . . 5 |- ( y e. E -> ( -u y + y ) = ( y + -u y ) )
45	42	negidd 10382	. . . . 5 |- ( y e. E -> ( y + -u y ) = 0 )
46	44, 45	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( y e. E -> ( -u y + y ) = 0 )
47	36, 39, 46	rspcedvd 3317	. . 3 |- ( y e. E -> E. z e. E ( z + y ) = 0 )
48	47	rgen 2922	. 2 |- A. y e. E E. z e. E ( z + y ) = 0
49	1, 2	2zrngbas 41936	. . 3 |- E = ( Base ` R )
50	1, 2	2zrngadd 41937	. . 3 |- + = ( +g ` R )
51	1, 2	2zrng0 41938	. . 3 |- 0 = ( 0g ` R )
52	49, 50, 51	isgrp 17428	. 2 |- ( R e. Grp <-> ( R e. Mnd /\ A. y e. E E. z e. E ( z + y ) = 0 ) )
53	3, 48, 52	mpbir2an 955	1 |- R e. Grp

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916  (class class class)co 6650   0cc0 9936   + caddc 9939   x. cmul 9941   -ucneg 10267   2c2 11070   ZZcz 11377   ↾_s cress 15858   Mndcmnd 17294   Grpcgrp 17422  ℂ_fldccnfld 19746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-cmn 18195  df-mgp 18490  df-ring 18549  df-cring 18550  df-cnfld 19747

This theorem is referenced by:  2zrngaabl  41944