Theorem ax1ne0 9981

Description: 1 and 0 are distinct. Axiom 13 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-1ne0 10005. (Contributed by NM, 19-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ax1ne0	|- 1 =/= 0

Proof of Theorem ax1ne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ne0sr 9917	. . . 4 |- -. 1R = 0R
2		1sr 9902	. . . . . 6 |- 1R e. R.
3	2	elexi 3213	. . . . 5 |- 1R e. _V
4	3	eqresr 9958	. . . 4 |- ( <. 1R , 0R >. = <. 0R , 0R >. <-> 1R = 0R )
5	1, 4	mtbir 313	. . 3 |- -. <. 1R , 0R >. = <. 0R , 0R >.
6		df-1 9944	. . . 4 |- 1 = <. 1R , 0R >.
7		df-0 9943	. . . 4 |- 0 = <. 0R , 0R >.
8	6, 7	eqeq12i 2636	. . 3 |- ( 1 = 0 <-> <. 1R , 0R >. = <. 0R , 0R >. )
9	5, 8	mtbir 313	. 2 |- -. 1 = 0
10	9	neir 2797	1 |- 1 =/= 0

Syntax hints:   = wceq 1483   =/= wne 2794   <.cop 4183   R.cnr 9687   0Rc0r 9688   1Rc1r 9689   0cc0 9936   1c1 9937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-ni 9694  df-pli 9695  df-mi 9696  df-lti 9697  df-plpq 9730  df-mpq 9731  df-ltpq 9732  df-enq 9733  df-nq 9734  df-erq 9735  df-plq 9736  df-mq 9737  df-1nq 9738  df-rq 9739  df-ltnq 9740  df-np 9803  df-1p 9804  df-plp 9805  df-ltp 9807  df-enr 9877  df-nr 9878  df-ltr 9881  df-0r 9882  df-1r 9883  df-0 9943  df-1 9944

This theorem is referenced by: (None)