Theorem axi2m1 9980

Description: i-squared equals -1 (expressed as i-squared plus 1 is 0). Axiom 12 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-i2m1 10004. (Contributed by NM, 5-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axi2m1	|- ( ( _i x. _i ) + 1 ) = 0

Proof of Theorem axi2m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0r 9901	. . . . . 6 |- 0R e. R.
2		1sr 9902	. . . . . 6 |- 1R e. R.
3		mulcnsr 9957	. . . . . 6 |- ( ( ( 0R e. R. /\ 1R e. R. ) /\ ( 0R e. R. /\ 1R e. R. ) ) -> ( <. 0R , 1R >. x. <. 0R , 1R >. ) = <. ( ( 0R .R 0R ) +R ( -1R .R ( 1R .R 1R ) ) ) , ( ( 1R .R 0R ) +R ( 0R .R 1R ) ) >. )
4	1, 2, 1, 2, 3	mp4an 709	. . . . 5 |- ( <. 0R , 1R >. x. <. 0R , 1R >. ) = <. ( ( 0R .R 0R ) +R ( -1R .R ( 1R .R 1R ) ) ) , ( ( 1R .R 0R ) +R ( 0R .R 1R ) ) >.
5		00sr 9920	. . . . . . . . 9 |- ( 0R e. R. -> ( 0R .R 0R ) = 0R )
6	1, 5	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( 0R .R 0R ) = 0R
7		1idsr 9919	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1R e. R. -> ( 1R .R 1R ) = 1R )
8	2, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( 1R .R 1R ) = 1R
9	8	oveq2i 6661	. . . . . . . . 9 |- ( -1R .R ( 1R .R 1R ) ) = ( -1R .R 1R )
10		m1r 9903	. . . . . . . . . 10 |- -1R e. R.
11		1idsr 9919	. . . . . . . . . 10 |- ( -1R e. R. -> ( -1R .R 1R ) = -1R )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( -1R .R 1R ) = -1R
13	9, 12	eqtri 2644	. . . . . . . 8 |- ( -1R .R ( 1R .R 1R ) ) = -1R
14	6, 13	oveq12i 6662	. . . . . . 7 |- ( ( 0R .R 0R ) +R ( -1R .R ( 1R .R 1R ) ) ) = ( 0R +R -1R )
15		addcomsr 9908	. . . . . . 7 |- ( 0R +R -1R ) = ( -1R +R 0R )
16		0idsr 9918	. . . . . . . 8 |- ( -1R e. R. -> ( -1R +R 0R ) = -1R )
17	10, 16	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( -1R +R 0R ) = -1R
18	14, 15, 17	3eqtri 2648	. . . . . 6 |- ( ( 0R .R 0R ) +R ( -1R .R ( 1R .R 1R ) ) ) = -1R
19		00sr 9920	. . . . . . . . 9 |- ( 1R e. R. -> ( 1R .R 0R ) = 0R )
20	2, 19	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( 1R .R 0R ) = 0R
21		1idsr 9919	. . . . . . . . 9 |- ( 0R e. R. -> ( 0R .R 1R ) = 0R )
22	1, 21	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( 0R .R 1R ) = 0R
23	20, 22	oveq12i 6662	. . . . . . 7 |- ( ( 1R .R 0R ) +R ( 0R .R 1R ) ) = ( 0R +R 0R )
24		0idsr 9918	. . . . . . . 8 |- ( 0R e. R. -> ( 0R +R 0R ) = 0R )
25	1, 24	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( 0R +R 0R ) = 0R
26	23, 25	eqtri 2644	. . . . . 6 |- ( ( 1R .R 0R ) +R ( 0R .R 1R ) ) = 0R
27	18, 26	opeq12i 4407	. . . . 5 |- <. ( ( 0R .R 0R ) +R ( -1R .R ( 1R .R 1R ) ) ) , ( ( 1R .R 0R ) +R ( 0R .R 1R ) ) >. = <. -1R , 0R >.
28	4, 27	eqtri 2644	. . . 4 |- ( <. 0R , 1R >. x. <. 0R , 1R >. ) = <. -1R , 0R >.
29	28	oveq1i 6660	. . 3 |- ( ( <. 0R , 1R >. x. <. 0R , 1R >. ) + <. 1R , 0R >. ) = ( <. -1R , 0R >. + <. 1R , 0R >. )
30		addresr 9959	. . . 4 |- ( ( -1R e. R. /\ 1R e. R. ) -> ( <. -1R , 0R >. + <. 1R , 0R >. ) = <. ( -1R +R 1R ) , 0R >. )
31	10, 2, 30	mp2an 708	. . 3 |- ( <. -1R , 0R >. + <. 1R , 0R >. ) = <. ( -1R +R 1R ) , 0R >.
32		m1p1sr 9913	. . . 4 |- ( -1R +R 1R ) = 0R
33	32	opeq1i 4405	. . 3 |- <. ( -1R +R 1R ) , 0R >. = <. 0R , 0R >.
34	29, 31, 33	3eqtri 2648	. 2 |- ( ( <. 0R , 1R >. x. <. 0R , 1R >. ) + <. 1R , 0R >. ) = <. 0R , 0R >.
35		df-i 9945	. . . 4 |- _i = <. 0R , 1R >.
36	35, 35	oveq12i 6662	. . 3 |- ( _i x. _i ) = ( <. 0R , 1R >. x. <. 0R , 1R >. )
37		df-1 9944	. . 3 |- 1 = <. 1R , 0R >.
38	36, 37	oveq12i 6662	. 2 |- ( ( _i x. _i ) + 1 ) = ( ( <. 0R , 1R >. x. <. 0R , 1R >. ) + <. 1R , 0R >. )
39		df-0 9943	. 2 |- 0 = <. 0R , 0R >.
40	34, 38, 39	3eqtr4i 2654	1 |- ( ( _i x. _i ) + 1 ) = 0

Syntax hints:   = wceq 1483   e. wcel 1990   <.cop 4183  (class class class)co 6650   R.cnr 9687   0Rc0r 9688   1Rc1r 9689   -1Rcm1r 9690   +R cplr 9691   .R cmr 9692   0cc0 9936   1c1 9937   _ici 9938   + caddc 9939   x. cmul 9941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-ni 9694  df-pli 9695  df-mi 9696  df-lti 9697  df-plpq 9730  df-mpq 9731  df-ltpq 9732  df-enq 9733  df-nq 9734  df-erq 9735  df-plq 9736  df-mq 9737  df-1nq 9738  df-rq 9739  df-ltnq 9740  df-np 9803  df-1p 9804  df-plp 9805  df-mp 9806  df-ltp 9807  df-enr 9877  df-nr 9878  df-plr 9879  df-mr 9880  df-0r 9882  df-1r 9883  df-m1r 9884  df-c 9942  df-0 9943  df-1 9944  df-i 9945  df-add 9947  df-mul 9948

This theorem is referenced by: (None)