Theorem cbvsumi 14427

Description: Change bound variable in a sum. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
cbvsumi.1	|- F/_ k B
cbvsumi.2	|- F/_ j C
cbvsumi.3	|- ( j = k -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
cbvsumi	|- sum_ j e. A B = sum_ k e. A C

Distinct variable group:   j, k, A

Allowed substitution hints:   B( j, k)   C( j, k)

Proof of Theorem cbvsumi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cbvsumi.3	. 2 |- ( j = k -> B = C )
2		nfcv 2764	. 2 |- F/_ k A
3		nfcv 2764	. 2 |- F/_ j A
4		cbvsumi.1	. 2 |- F/_ k B
5		cbvsumi.2	. 2 |- F/_ j C
6	1, 2, 3, 4, 5	cbvsum 14425	1 |- sum_ j e. A B = sum_ k e. A C

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   F/_wnfc 2751   sum_csu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-xp 5120  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-seq 12802  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  sumfc  14440  sumss2  14457  fsumzcl2  14469  fsumsplitf  14472  sumsnf  14473  sumsn  14475  sumsns  14479  fsummsnunz  14483  fsumsplitsnun  14484  fsummsnunzOLD  14485  fsumsplitsnunOLD  14486  fsum2dlem  14501  fsumcom2  14505  fsumcom2OLD  14506  fsumshftm  14513  fsumrlim  14543  fsumo1  14544  o1fsum  14545  fsumiun  14553  ovolfiniun  23269  ovoliun2  23274  volfiniun  23315  itgfsum  23593  elplyd  23958  coeeq2  23998  fsumdvdscom  24911  fsumdvdsmul  24921  fsumvma  24938  fsumshftd  34237  fsumshftdOLD  34238  binomcxplemdvsum  38554  sumsnd  39185  fourierdlem115  40438  fsummsndifre  41342  fsumsplitsndif  41343  fsummmodsndifre  41344  fsummmodsnunz  41345