Theorem itgfsum 23593

Description: Take a finite sum of integrals over the same domain. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgfsum.1	|- ( ph -> A e. dom vol )
itgfsum.2	|- ( ph -> B e. Fin )
itgfsum.3	|- ( ( ph /\ ( x e. A /\ k e. B ) ) -> C e. V )
itgfsum.4	|- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( x e. A |-> C ) e. L^1 )

Assertion

Ref	Expression
itgfsum	|- ( ph -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. B C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. B C _d x = sum_ k e. B S. A C _d x ) )

Distinct variable groups:   x, k, A   B, k, x   ph, k, x

Allowed substitution hints:   C( x, k)   V( x, k)

Proof of Theorem itgfsum

Dummy variables m t w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3624	. 2 |- B C_ B
2		itgfsum.2	. . 3 |- ( ph -> B e. Fin )
3		sseq1 3626	. . . . . 6 |- ( t = (/) -> ( t C_ B <-> (/) C_ B ) )
4		sumeq1 14419	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = (/) -> sum_ k e. t C = sum_ k e. (/) C )
5		sum0 14452	. . . . . . . . . . . 12 |- sum_ k e. (/) C = 0
6	4, 5	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = (/) -> sum_ k e. t C = 0 )
7	6	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . 10 |- ( t = (/) -> ( x e. A |-> sum_ k e. t C ) = ( x e. A |-> 0 ) )
8		fconstmpt 5163	. . . . . . . . . 10 |- ( A X. { 0 } ) = ( x e. A |-> 0 )
9	7, 8	syl6eqr 2674	. . . . . . . . 9 |- ( t = (/) -> ( x e. A |-> sum_ k e. t C ) = ( A X. { 0 } ) )
10	9	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( t = (/) -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. t C ) e. L^1 <-> ( A X. { 0 } ) e. L^1 ) )
11	10	anbi1d 741	. . . . . . 7 |- ( t = (/) -> ( ( ( x e. A |-> sum_ k e. t C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. t C _d x = sum_ k e. t S. A C _d x ) <-> ( ( A X. { 0 } ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. t C _d x = sum_ k e. t S. A C _d x ) ) )
12		itgz 23547	. . . . . . . . 9 |- S. A 0 _d x = 0
13	6	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t = (/) /\ x e. A ) -> sum_ k e. t C = 0 )
14	13	itgeq2dv 23548	. . . . . . . . 9 |- ( t = (/) -> S. A sum_ k e. t C _d x = S. A 0 _d x )
15		sumeq1 14419	. . . . . . . . . 10 |- ( t = (/) -> sum_ k e. t S. A C _d x = sum_ k e. (/) S. A C _d x )
16		sum0 14452	. . . . . . . . . 10 |- sum_ k e. (/) S. A C _d x = 0
17	15, 16	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 |- ( t = (/) -> sum_ k e. t S. A C _d x = 0 )
18	12, 14, 17	3eqtr4a 2682	. . . . . . . 8 |- ( t = (/) -> S. A sum_ k e. t C _d x = sum_ k e. t S. A C _d x )
19	18	biantrud 528	. . . . . . 7 |- ( t = (/) -> ( ( A X. { 0 } ) e. L^1 <-> ( ( A X. { 0 } ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. t C _d x = sum_ k e. t S. A C _d x ) ) )
20	11, 19	bitr4d 271	. . . . . 6 |- ( t = (/) -> ( ( ( x e. A |-> sum_ k e. t C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. t C _d x = sum_ k e. t S. A C _d x ) <-> ( A X. { 0 } ) e. L^1 ) )
21	3, 20	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( t = (/) -> ( ( t C_ B -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. t C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. t C _d x = sum_ k e. t S. A C _d x ) ) <-> ( (/) C_ B -> ( A X. { 0 } ) e. L^1 ) ) )
22	21	imbi2d 330	. . . 4 |- ( t = (/) -> ( ( ph -> ( t C_ B -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. t C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. t C _d x = sum_ k e. t S. A C _d x ) ) ) <-> ( ph -> ( (/) C_ B -> ( A X. { 0 } ) e. L^1 ) ) ) )
23		sseq1 3626	. . . . . 6 |- ( t = w -> ( t C_ B <-> w C_ B ) )
24		sumeq1 14419	. . . . . . . . 9 |- ( t = w -> sum_ k e. t C = sum_ k e. w C )
25	24	mpteq2dv 4745	. . . . . . . 8 |- ( t = w -> ( x e. A |-> sum_ k e. t C ) = ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) )
26	25	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( t = w -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. t C ) e. L^1 <-> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. L^1 ) )
27	24	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( t = w /\ x e. A ) -> sum_ k e. t C = sum_ k e. w C )
28	27	itgeq2dv 23548	. . . . . . . 8 |- ( t = w -> S. A sum_ k e. t C _d x = S. A sum_ k e. w C _d x )
29		sumeq1 14419	. . . . . . . 8 |- ( t = w -> sum_ k e. t S. A C _d x = sum_ k e. w S. A C _d x )
30	28, 29	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 |- ( t = w -> ( S. A sum_ k e. t C _d x = sum_ k e. t S. A C _d x <-> S. A sum_ k e. w C _d x = sum_ k e. w S. A C _d x ) )
31	26, 30	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( t = w -> ( ( ( x e. A |-> sum_ k e. t C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. t C _d x = sum_ k e. t S. A C _d x ) <-> ( ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. w C _d x = sum_ k e. w S. A C _d x ) ) )
32	23, 31	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( t = w -> ( ( t C_ B -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. t C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. t C _d x = sum_ k e. t S. A C _d x ) ) <-> ( w C_ B -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. w C _d x = sum_ k e. w S. A C _d x ) ) ) )
33	32	imbi2d 330	. . . 4 |- ( t = w -> ( ( ph -> ( t C_ B -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. t C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. t C _d x = sum_ k e. t S. A C _d x ) ) ) <-> ( ph -> ( w C_ B -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. w C _d x = sum_ k e. w S. A C _d x ) ) ) ) )
34		sseq1 3626	. . . . . 6 |- ( t = ( w u. { z } ) -> ( t C_ B <-> ( w u. { z } ) C_ B ) )
35		sumeq1 14419	. . . . . . . . 9 |- ( t = ( w u. { z } ) -> sum_ k e. t C = sum_ k e. ( w u. { z } ) C )
36	35	mpteq2dv 4745	. . . . . . . 8 |- ( t = ( w u. { z } ) -> ( x e. A |-> sum_ k e. t C ) = ( x e. A |-> sum_ k e. ( w u. { z } ) C ) )
37	36	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( t = ( w u. { z } ) -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. t C ) e. L^1 <-> ( x e. A |-> sum_ k e. ( w u. { z } ) C ) e. L^1 ) )
38	35	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( t = ( w u. { z } ) /\ x e. A ) -> sum_ k e. t C = sum_ k e. ( w u. { z } ) C )
39	38	itgeq2dv 23548	. . . . . . . 8 |- ( t = ( w u. { z } ) -> S. A sum_ k e. t C _d x = S. A sum_ k e. ( w u. { z } ) C _d x )
40		sumeq1 14419	. . . . . . . 8 |- ( t = ( w u. { z } ) -> sum_ k e. t S. A C _d x = sum_ k e. ( w u. { z } ) S. A C _d x )
41	39, 40	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 |- ( t = ( w u. { z } ) -> ( S. A sum_ k e. t C _d x = sum_ k e. t S. A C _d x <-> S. A sum_ k e. ( w u. { z } ) C _d x = sum_ k e. ( w u. { z } ) S. A C _d x ) )
42	37, 41	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( t = ( w u. { z } ) -> ( ( ( x e. A |-> sum_ k e. t C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. t C _d x = sum_ k e. t S. A C _d x ) <-> ( ( x e. A |-> sum_ k e. ( w u. { z } ) C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. ( w u. { z } ) C _d x = sum_ k e. ( w u. { z } ) S. A C _d x ) ) )
43	34, 42	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( t = ( w u. { z } ) -> ( ( t C_ B -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. t C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. t C _d x = sum_ k e. t S. A C _d x ) ) <-> ( ( w u. { z } ) C_ B -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. ( w u. { z } ) C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. ( w u. { z } ) C _d x = sum_ k e. ( w u. { z } ) S. A C _d x ) ) ) )
44	43	imbi2d 330	. . . 4 |- ( t = ( w u. { z } ) -> ( ( ph -> ( t C_ B -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. t C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. t C _d x = sum_ k e. t S. A C _d x ) ) ) <-> ( ph -> ( ( w u. { z } ) C_ B -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. ( w u. { z } ) C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. ( w u. { z } ) C _d x = sum_ k e. ( w u. { z } ) S. A C _d x ) ) ) ) )
45		sseq1 3626	. . . . . 6 |- ( t = B -> ( t C_ B <-> B C_ B ) )
46		sumeq1 14419	. . . . . . . . 9 |- ( t = B -> sum_ k e. t C = sum_ k e. B C )
47	46	mpteq2dv 4745	. . . . . . . 8 |- ( t = B -> ( x e. A |-> sum_ k e. t C ) = ( x e. A |-> sum_ k e. B C ) )
48	47	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( t = B -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. t C ) e. L^1 <-> ( x e. A |-> sum_ k e. B C ) e. L^1 ) )
49	46	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( t = B /\ x e. A ) -> sum_ k e. t C = sum_ k e. B C )
50	49	itgeq2dv 23548	. . . . . . . 8 |- ( t = B -> S. A sum_ k e. t C _d x = S. A sum_ k e. B C _d x )
51		sumeq1 14419	. . . . . . . 8 |- ( t = B -> sum_ k e. t S. A C _d x = sum_ k e. B S. A C _d x )
52	50, 51	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 |- ( t = B -> ( S. A sum_ k e. t C _d x = sum_ k e. t S. A C _d x <-> S. A sum_ k e. B C _d x = sum_ k e. B S. A C _d x ) )
53	48, 52	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( t = B -> ( ( ( x e. A |-> sum_ k e. t C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. t C _d x = sum_ k e. t S. A C _d x ) <-> ( ( x e. A |-> sum_ k e. B C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. B C _d x = sum_ k e. B S. A C _d x ) ) )
54	45, 53	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( t = B -> ( ( t C_ B -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. t C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. t C _d x = sum_ k e. t S. A C _d x ) ) <-> ( B C_ B -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. B C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. B C _d x = sum_ k e. B S. A C _d x ) ) ) )
55	54	imbi2d 330	. . . 4 |- ( t = B -> ( ( ph -> ( t C_ B -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. t C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. t C _d x = sum_ k e. t S. A C _d x ) ) ) <-> ( ph -> ( B C_ B -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. B C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. B C _d x = sum_ k e. B S. A C _d x ) ) ) ) )
56		itgfsum.1	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. dom vol )
57		ibl0 23553	. . . . . 6 |- ( A e. dom vol -> ( A X. { 0 } ) e. L^1 )
58	56, 57	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( A X. { 0 } ) e. L^1 )
59	58	a1d 25	. . . 4 |- ( ph -> ( (/) C_ B -> ( A X. { 0 } ) e. L^1 ) )
60		ssun1 3776	. . . . . . . . . 10 |- w C_ ( w u. { z } )
61		sstr 3611	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w C_ ( w u. { z } ) /\ ( w u. { z } ) C_ B ) -> w C_ B )
62	60, 61	mpan 706	. . . . . . . . 9 |- ( ( w u. { z } ) C_ B -> w C_ B )
63	62	imim1i 63	. . . . . . . 8 |- ( ( w C_ B -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. w C _d x = sum_ k e. w S. A C _d x ) ) -> ( ( w u. { z } ) C_ B -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. w C _d x = sum_ k e. w S. A C _d x ) ) )
64		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ m C
65		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ k [_ m / k ]_ C
66		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = m -> C = [_ m / k ]_ C )
67	64, 65, 66	cbvsumi 14427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- sum_ k e. ( w u. { z } ) C = sum_ m e. ( w u. { z } ) [_ m / k ]_ C
68		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) -> -. z e. w )
69		disjsn 4246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( w i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. w )
70	68, 69	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) -> ( w i^i { z } ) = (/) )
71	70	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> ( w i^i { z } ) = (/) )
72		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> ( w u. { z } ) = ( w u. { z } ) )
73	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) -> B e. Fin )
74		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) -> ( w u. { z } ) C_ B )
75		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( B e. Fin /\ ( w u. { z } ) C_ B ) -> ( w u. { z } ) e. Fin )
76	73, 74, 75	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) -> ( w u. { z } ) e. Fin )
77	76	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> ( w u. { z } ) e. Fin )
78		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> ( w u. { z } ) C_ B )
79	78	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) /\ m e. ( w u. { z } ) ) -> m e. B )
80		itgfsum.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( x e. A |-> C ) e. L^1 )
81		iblmbf 23534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( x e. A |-> C ) e. L^1 -> ( x e. A |-> C ) e. MblFn )
82	80, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( x e. A |-> C ) e. MblFn )
83		itgfsum.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ k e. B ) ) -> C e. V )
84	83	anass1rs 849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ x e. A ) -> C e. V )
85	82, 84	mbfmptcl 23404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ x e. A ) -> C e. CC )
86	85	an32s 846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ k e. B ) -> C e. CC )
87	86	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> A. k e. B C e. CC )
88	87	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> A. k e. B C e. CC )
89	64	nfel1 2779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/ m C e. CC
90	65	nfel1 2779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/ k [_ m / k ]_ C e. CC
91	66	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k = m -> ( C e. CC <-> [_ m / k ]_ C e. CC ) )
92	89, 90, 91	cbvral 3167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A. k e. B C e. CC <-> A. m e. B [_ m / k ]_ C e. CC )
93	88, 92	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> A. m e. B [_ m / k ]_ C e. CC )
94	93	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) /\ m e. B ) -> [_ m / k ]_ C e. CC )
95	79, 94	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) /\ m e. ( w u. { z } ) ) -> [_ m / k ]_ C e. CC )
96	71, 72, 77, 95	fsumsplit 14471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> sum_ m e. ( w u. { z } ) [_ m / k ]_ C = ( sum_ m e. w [_ m / k ]_ C + sum_ m e. { z } [_ m / k ]_ C ) )
97		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- z e. _V
98	74	unssbd 3791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) -> { z } C_ B )
99	97	snss 4316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z e. B <-> { z } C_ B )
100	98, 99	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) -> z e. B )
101	100	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> z e. B )
102		csbeq1 3536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( m = z -> [_ m / k ]_ C = [_ z / k ]_ C )
103	102	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( m = z -> ( [_ m / k ]_ C e. CC <-> [_ z / k ]_ C e. CC ) )
104	103	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z e. B -> ( A. m e. B [_ m / k ]_ C e. CC -> [_ z / k ]_ C e. CC ) )
105	101, 93, 104	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> [_ z / k ]_ C e. CC )
106	102	sumsn 14475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( z e. _V /\ [_ z / k ]_ C e. CC ) -> sum_ m e. { z } [_ m / k ]_ C = [_ z / k ]_ C )
107	97, 105, 106	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> sum_ m e. { z } [_ m / k ]_ C = [_ z / k ]_ C )
108	107	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> ( sum_ m e. w [_ m / k ]_ C + sum_ m e. { z } [_ m / k ]_ C ) = ( sum_ m e. w [_ m / k ]_ C + [_ z / k ]_ C ) )
109	96, 108	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> sum_ m e. ( w u. { z } ) [_ m / k ]_ C = ( sum_ m e. w [_ m / k ]_ C + [_ z / k ]_ C ) )
110	67, 109	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> sum_ k e. ( w u. { z } ) C = ( sum_ m e. w [_ m / k ]_ C + [_ z / k ]_ C ) )
111	110	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( w u. { z } ) C ) = ( x e. A |-> ( sum_ m e. w [_ m / k ]_ C + [_ z / k ]_ C ) ) )
112		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ y ( sum_ m e. w [_ m / k ]_ C + [_ z / k ]_ C )
113		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x [_ y / x ]_ sum_ m e. w [_ m / k ]_ C
114		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x +
115		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x [_ y / x ]_ [_ z / k ]_ C
116	113, 114, 115	nfov 6676	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ x ( [_ y / x ]_ sum_ m e. w [_ m / k ]_ C + [_ y / x ]_ [_ z / k ]_ C )
117		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = y -> sum_ m e. w [_ m / k ]_ C = [_ y / x ]_ sum_ m e. w [_ m / k ]_ C )
118		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = y -> [_ z / k ]_ C = [_ y / x ]_ [_ z / k ]_ C )
119	117, 118	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = y -> ( sum_ m e. w [_ m / k ]_ C + [_ z / k ]_ C ) = ( [_ y / x ]_ sum_ m e. w [_ m / k ]_ C + [_ y / x ]_ [_ z / k ]_ C ) )
120	112, 116, 119	cbvmpt 4749	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. A |-> ( sum_ m e. w [_ m / k ]_ C + [_ z / k ]_ C ) ) = ( y e. A |-> ( [_ y / x ]_ sum_ m e. w [_ m / k ]_ C + [_ y / x ]_ [_ z / k ]_ C ) )
121	111, 120	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( w u. { z } ) C ) = ( y e. A |-> ( [_ y / x ]_ sum_ m e. w [_ m / k ]_ C + [_ y / x ]_ [_ z / k ]_ C ) ) )
122	121	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) /\ ( ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. w C _d x = sum_ k e. w S. A C _d x ) ) -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( w u. { z } ) C ) = ( y e. A |-> ( [_ y / x ]_ sum_ m e. w [_ m / k ]_ C + [_ y / x ]_ [_ z / k ]_ C ) ) )
123		sumex 14418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- sum_ m e. w [_ m / k ]_ C e. _V
124	123	csbex 4793	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- [_ y / x ]_ sum_ m e. w [_ m / k ]_ C e. _V
125	124	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) /\ ( ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. w C _d x = sum_ k e. w S. A C _d x ) ) /\ y e. A ) -> [_ y / x ]_ sum_ m e. w [_ m / k ]_ C e. _V )
126	64, 65, 66	cbvsumi 14427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- sum_ k e. w C = sum_ m e. w [_ m / k ]_ C
127	126	mpteq2i 4741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) = ( x e. A |-> sum_ m e. w [_ m / k ]_ C )
128		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ y sum_ m e. w [_ m / k ]_ C
129	128, 113, 117	cbvmpt 4749	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. A |-> sum_ m e. w [_ m / k ]_ C ) = ( y e. A |-> [_ y / x ]_ sum_ m e. w [_ m / k ]_ C )
130	127, 129	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) = ( y e. A |-> [_ y / x ]_ sum_ m e. w [_ m / k ]_ C )
131		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) /\ ( ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. w C _d x = sum_ k e. w S. A C _d x ) ) -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. L^1 )
132	130, 131	syl5eqelr 2706	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) /\ ( ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. w C _d x = sum_ k e. w S. A C _d x ) ) -> ( y e. A |-> [_ y / x ]_ sum_ m e. w [_ m / k ]_ C ) e. L^1 )
133		elex 3212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( [_ z / k ]_ C e. CC -> [_ z / k ]_ C e. _V )
134	105, 133	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> [_ z / k ]_ C e. _V )
135	134	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) -> A. x e. A [_ z / k ]_ C e. _V )
136	135	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) /\ ( ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. w C _d x = sum_ k e. w S. A C _d x ) ) -> A. x e. A [_ z / k ]_ C e. _V )
137		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ y [_ z / k ]_ C e. _V
138	115	nfel1 2779	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ x [_ y / x ]_ [_ z / k ]_ C e. _V
139	118	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = y -> ( [_ z / k ]_ C e. _V <-> [_ y / x ]_ [_ z / k ]_ C e. _V ) )
140	137, 138, 139	cbvral 3167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. x e. A [_ z / k ]_ C e. _V <-> A. y e. A [_ y / x ]_ [_ z / k ]_ C e. _V )
141	136, 140	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) /\ ( ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. w C _d x = sum_ k e. w S. A C _d x ) ) -> A. y e. A [_ y / x ]_ [_ z / k ]_ C e. _V )
142	141	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) /\ ( ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. w C _d x = sum_ k e. w S. A C _d x ) ) /\ y e. A ) -> [_ y / x ]_ [_ z / k ]_ C e. _V )
143		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ y [_ z / k ]_ C
144	143, 115, 118	cbvmpt 4749	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) = ( y e. A |-> [_ y / x ]_ [_ z / k ]_ C )
145	80	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A. k e. B ( x e. A |-> C ) e. L^1 )
146		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ m ( x e. A |-> C ) e. L^1
147		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/_ k A
148	147, 65	nfmpt 4746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ k ( x e. A |-> [_ m / k ]_ C )
149	148	nfel1 2779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ k ( x e. A |-> [_ m / k ]_ C ) e. L^1
150	66	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = m -> ( x e. A |-> C ) = ( x e. A |-> [_ m / k ]_ C ) )
151	150	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = m -> ( ( x e. A |-> C ) e. L^1 <-> ( x e. A |-> [_ m / k ]_ C ) e. L^1 ) )
152	146, 149, 151	cbvral 3167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. k e. B ( x e. A |-> C ) e. L^1 <-> A. m e. B ( x e. A |-> [_ m / k ]_ C ) e. L^1 )
153	145, 152	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A. m e. B ( x e. A |-> [_ m / k ]_ C ) e. L^1 )
154	153	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) -> A. m e. B ( x e. A |-> [_ m / k ]_ C ) e. L^1 )
155	102	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m = z -> ( x e. A |-> [_ m / k ]_ C ) = ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) )
156	155	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m = z -> ( ( x e. A |-> [_ m / k ]_ C ) e. L^1 <-> ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) e. L^1 ) )
157	156	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. B -> ( A. m e. B ( x e. A |-> [_ m / k ]_ C ) e. L^1 -> ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) e. L^1 ) )
158	100, 154, 157	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) -> ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) e. L^1 )
159	144, 158	syl5eqelr 2706	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) -> ( y e. A |-> [_ y / x ]_ [_ z / k ]_ C ) e. L^1 )
160	159	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) /\ ( ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. w C _d x = sum_ k e. w S. A C _d x ) ) -> ( y e. A |-> [_ y / x ]_ [_ z / k ]_ C ) e. L^1 )
161	125, 132, 142, 160	ibladd 23587	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) /\ ( ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. w C _d x = sum_ k e. w S. A C _d x ) ) -> ( y e. A |-> ( [_ y / x ]_ sum_ m e. w [_ m / k ]_ C + [_ y / x ]_ [_ z / k ]_ C ) ) e. L^1 )
162	122, 161	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) /\ ( ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. w C _d x = sum_ k e. w S. A C _d x ) ) -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( w u. { z } ) C ) e. L^1 )
163	125, 132, 142, 160	itgadd 23591	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) /\ ( ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. w C _d x = sum_ k e. w S. A C _d x ) ) -> S. A ( [_ y / x ]_ sum_ m e. w [_ m / k ]_ C + [_ y / x ]_ [_ z / k ]_ C ) _d y = ( S. A [_ y / x ]_ sum_ m e. w [_ m / k ]_ C _d y + S. A [_ y / x ]_ [_ z / k ]_ C _d y ) )
164	119, 112, 116	cbvitg 23542	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- S. A ( sum_ m e. w [_ m / k ]_ C + [_ z / k ]_ C ) _d x = S. A ( [_ y / x ]_ sum_ m e. w [_ m / k ]_ C + [_ y / x ]_ [_ z / k ]_ C ) _d y
165	117, 128, 113	cbvitg 23542	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- S. A sum_ m e. w [_ m / k ]_ C _d x = S. A [_ y / x ]_ sum_ m e. w [_ m / k ]_ C _d y
166	118, 143, 115	cbvitg 23542	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- S. A [_ z / k ]_ C _d x = S. A [_ y / x ]_ [_ z / k ]_ C _d y
167	165, 166	oveq12i 6662	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( S. A sum_ m e. w [_ m / k ]_ C _d x + S. A [_ z / k ]_ C _d x ) = ( S. A [_ y / x ]_ sum_ m e. w [_ m / k ]_ C _d y + S. A [_ y / x ]_ [_ z / k ]_ C _d y )
168	163, 164, 167	3eqtr4g 2681	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) /\ ( ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. w C _d x = sum_ k e. w S. A C _d x ) ) -> S. A ( sum_ m e. w [_ m / k ]_ C + [_ z / k ]_ C ) _d x = ( S. A sum_ m e. w [_ m / k ]_ C _d x + S. A [_ z / k ]_ C _d x ) )
169	109	itgeq2dv 23548	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) -> S. A sum_ m e. ( w u. { z } ) [_ m / k ]_ C _d x = S. A ( sum_ m e. w [_ m / k ]_ C + [_ z / k ]_ C ) _d x )
170	169	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) /\ ( ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. w C _d x = sum_ k e. w S. A C _d x ) ) -> S. A sum_ m e. ( w u. { z } ) [_ m / k ]_ C _d x = S. A ( sum_ m e. w [_ m / k ]_ C + [_ z / k ]_ C ) _d x )
171		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) -> ( w u. { z } ) = ( w u. { z } ) )
172	74	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) /\ m e. ( w u. { z } ) ) -> m e. B )
173	94	an32s 846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) /\ m e. B ) /\ x e. A ) -> [_ m / k ]_ C e. CC )
174	154	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) /\ m e. B ) -> ( x e. A |-> [_ m / k ]_ C ) e. L^1 )
175	173, 174	itgcl 23550	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) /\ m e. B ) -> S. A [_ m / k ]_ C _d x e. CC )
176	172, 175	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) /\ m e. ( w u. { z } ) ) -> S. A [_ m / k ]_ C _d x e. CC )
177	70, 171, 76, 176	fsumsplit 14471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) -> sum_ m e. ( w u. { z } ) S. A [_ m / k ]_ C _d x = ( sum_ m e. w S. A [_ m / k ]_ C _d x + sum_ m e. { z } S. A [_ m / k ]_ C _d x ) )
178	177	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) /\ ( ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. w C _d x = sum_ k e. w S. A C _d x ) ) -> sum_ m e. ( w u. { z } ) S. A [_ m / k ]_ C _d x = ( sum_ m e. w S. A [_ m / k ]_ C _d x + sum_ m e. { z } S. A [_ m / k ]_ C _d x ) )
179		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) /\ ( ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. w C _d x = sum_ k e. w S. A C _d x ) ) -> S. A sum_ k e. w C _d x = sum_ k e. w S. A C _d x )
180		itgeq2 23544	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. x e. A sum_ k e. w C = sum_ m e. w [_ m / k ]_ C -> S. A sum_ k e. w C _d x = S. A sum_ m e. w [_ m / k ]_ C _d x )
181	126	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. A -> sum_ k e. w C = sum_ m e. w [_ m / k ]_ C )
182	180, 181	mprg 2926	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- S. A sum_ k e. w C _d x = S. A sum_ m e. w [_ m / k ]_ C _d x
183		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ m S. A C _d x
184	147, 65	nfitg 23541	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ k S. A [_ m / k ]_ C _d x
185	66	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( k = m /\ x e. A ) -> C = [_ m / k ]_ C )
186	185	itgeq2dv 23548	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = m -> S. A C _d x = S. A [_ m / k ]_ C _d x )
187	183, 184, 186	cbvsumi 14427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- sum_ k e. w S. A C _d x = sum_ m e. w S. A [_ m / k ]_ C _d x
188	179, 182, 187	3eqtr3g 2679	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) /\ ( ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. w C _d x = sum_ k e. w S. A C _d x ) ) -> S. A sum_ m e. w [_ m / k ]_ C _d x = sum_ m e. w S. A [_ m / k ]_ C _d x )
189	105, 158	itgcl 23550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) -> S. A [_ z / k ]_ C _d x e. CC )
190	189	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) /\ ( ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. w C _d x = sum_ k e. w S. A C _d x ) ) -> S. A [_ z / k ]_ C _d x e. CC )
191	102	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( m = z /\ x e. A ) -> [_ m / k ]_ C = [_ z / k ]_ C )
192	191	itgeq2dv 23548	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m = z -> S. A [_ m / k ]_ C _d x = S. A [_ z / k ]_ C _d x )
193	192	sumsn 14475	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. _V /\ S. A [_ z / k ]_ C _d x e. CC ) -> sum_ m e. { z } S. A [_ m / k ]_ C _d x = S. A [_ z / k ]_ C _d x )
194	97, 190, 193	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) /\ ( ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. w C _d x = sum_ k e. w S. A C _d x ) ) -> sum_ m e. { z } S. A [_ m / k ]_ C _d x = S. A [_ z / k ]_ C _d x )
195	194	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) /\ ( ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. w C _d x = sum_ k e. w S. A C _d x ) ) -> S. A [_ z / k ]_ C _d x = sum_ m e. { z } S. A [_ m / k ]_ C _d x )
196	188, 195	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) /\ ( ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. w C _d x = sum_ k e. w S. A C _d x ) ) -> ( S. A sum_ m e. w [_ m / k ]_ C _d x + S. A [_ z / k ]_ C _d x ) = ( sum_ m e. w S. A [_ m / k ]_ C _d x + sum_ m e. { z } S. A [_ m / k ]_ C _d x ) )
197	178, 196	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) /\ ( ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. w C _d x = sum_ k e. w S. A C _d x ) ) -> sum_ m e. ( w u. { z } ) S. A [_ m / k ]_ C _d x = ( S. A sum_ m e. w [_ m / k ]_ C _d x + S. A [_ z / k ]_ C _d x ) )
198	168, 170, 197	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) /\ ( ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. w C _d x = sum_ k e. w S. A C _d x ) ) -> S. A sum_ m e. ( w u. { z } ) [_ m / k ]_ C _d x = sum_ m e. ( w u. { z } ) S. A [_ m / k ]_ C _d x )
199		itgeq2 23544	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. x e. A sum_ k e. ( w u. { z } ) C = sum_ m e. ( w u. { z } ) [_ m / k ]_ C -> S. A sum_ k e. ( w u. { z } ) C _d x = S. A sum_ m e. ( w u. { z } ) [_ m / k ]_ C _d x )
200	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. A -> sum_ k e. ( w u. { z } ) C = sum_ m e. ( w u. { z } ) [_ m / k ]_ C )
201	199, 200	mprg 2926	. . . . . . . . . . . . 13 |- S. A sum_ k e. ( w u. { z } ) C _d x = S. A sum_ m e. ( w u. { z } ) [_ m / k ]_ C _d x
202	183, 184, 186	cbvsumi 14427	. . . . . . . . . . . . 13 |- sum_ k e. ( w u. { z } ) S. A C _d x = sum_ m e. ( w u. { z } ) S. A [_ m / k ]_ C _d x
203	198, 201, 202	3eqtr4g 2681	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) /\ ( ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. w C _d x = sum_ k e. w S. A C _d x ) ) -> S. A sum_ k e. ( w u. { z } ) C _d x = sum_ k e. ( w u. { z } ) S. A C _d x )
204	162, 203	jca 554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) /\ ( ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. w C _d x = sum_ k e. w S. A C _d x ) ) -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. ( w u. { z } ) C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. ( w u. { z } ) C _d x = sum_ k e. ( w u. { z } ) S. A C _d x ) )
205	204	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( -. z e. w /\ ( w u. { z } ) C_ B ) ) -> ( ( ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. w C _d x = sum_ k e. w S. A C _d x ) -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. ( w u. { z } ) C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. ( w u. { z } ) C _d x = sum_ k e. ( w u. { z } ) S. A C _d x ) ) )
206	205	expr 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. z e. w ) -> ( ( w u. { z } ) C_ B -> ( ( ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. w C _d x = sum_ k e. w S. A C _d x ) -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. ( w u. { z } ) C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. ( w u. { z } ) C _d x = sum_ k e. ( w u. { z } ) S. A C _d x ) ) ) )
207	206	a2d 29	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. z e. w ) -> ( ( ( w u. { z } ) C_ B -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. w C _d x = sum_ k e. w S. A C _d x ) ) -> ( ( w u. { z } ) C_ B -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. ( w u. { z } ) C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. ( w u. { z } ) C _d x = sum_ k e. ( w u. { z } ) S. A C _d x ) ) ) )
208	63, 207	syl5 34	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. z e. w ) -> ( ( w C_ B -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. w C _d x = sum_ k e. w S. A C _d x ) ) -> ( ( w u. { z } ) C_ B -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. ( w u. { z } ) C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. ( w u. { z } ) C _d x = sum_ k e. ( w u. { z } ) S. A C _d x ) ) ) )
209	208	expcom 451	. . . . . 6 |- ( -. z e. w -> ( ph -> ( ( w C_ B -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. w C _d x = sum_ k e. w S. A C _d x ) ) -> ( ( w u. { z } ) C_ B -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. ( w u. { z } ) C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. ( w u. { z } ) C _d x = sum_ k e. ( w u. { z } ) S. A C _d x ) ) ) ) )
210	209	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( w e. Fin /\ -. z e. w ) -> ( ph -> ( ( w C_ B -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. w C _d x = sum_ k e. w S. A C _d x ) ) -> ( ( w u. { z } ) C_ B -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. ( w u. { z } ) C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. ( w u. { z } ) C _d x = sum_ k e. ( w u. { z } ) S. A C _d x ) ) ) ) )
211	210	a2d 29	. . . 4 |- ( ( w e. Fin /\ -. z e. w ) -> ( ( ph -> ( w C_ B -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. w C _d x = sum_ k e. w S. A C _d x ) ) ) -> ( ph -> ( ( w u. { z } ) C_ B -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. ( w u. { z } ) C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. ( w u. { z } ) C _d x = sum_ k e. ( w u. { z } ) S. A C _d x ) ) ) ) )
212	22, 33, 44, 55, 59, 211	findcard2s 8201	. . 3 |- ( B e. Fin -> ( ph -> ( B C_ B -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. B C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. B C _d x = sum_ k e. B S. A C _d x ) ) ) )
213	2, 212	mpcom 38	. 2 |- ( ph -> ( B C_ B -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. B C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. B C _d x = sum_ k e. B S. A C _d x ) ) )
214	1, 213	mpi 20	1 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. B C ) e. L^1 /\ S. A sum_ k e. B C _d x = sum_ k e. B S. A C _d x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   [_csb 3533   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   0cc0 9936   + caddc 9939   sum_csu 14416   volcvol 23232  MblFncmbf 23383   L^1cibl 23386   S.citg 23387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437

This theorem is referenced by:  circlemeth  30718  fourierdlem83  40406