Theorem fsumo1 14544

Description: The finite sum of eventually bounded functions (where the index set B does not depend on x) is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2016.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumo1.1	|- ( ph -> A C_ RR )
fsumo1.2	|- ( ph -> B e. Fin )
fsumo1.3	|- ( ( ph /\ ( x e. A /\ k e. B ) ) -> C e. V )
fsumo1.4	|- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( x e. A |-> C ) e. O(1) )

Assertion

Ref	Expression
fsumo1	|- ( ph -> ( x e. A |-> sum_ k e. B C ) e. O(1) )

Distinct variable groups:   x, k, A   B, k, x   ph, k, x

Allowed substitution hints:   C( x, k)   V( x, k)

Proof of Theorem fsumo1

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3624	. 2 |- B C_ B
2		fsumo1.2	. . 3 |- ( ph -> B e. Fin )
3		sseq1 3626	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( w C_ B <-> (/) C_ B ) )
4		sumeq1 14419	. . . . . . . . 9 |- ( w = (/) -> sum_ k e. w C = sum_ k e. (/) C )
5		sum0 14452	. . . . . . . . 9 |- sum_ k e. (/) C = 0
6	4, 5	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( w = (/) -> sum_ k e. w C = 0 )
7	6	mpteq2dv 4745	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) = ( x e. A |-> 0 ) )
8	7	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O(1) <-> ( x e. A |-> 0 ) e. O(1) ) )
9	3, 8	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( ( w C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O(1) ) <-> ( (/) C_ B -> ( x e. A |-> 0 ) e. O(1) ) ) )
10	9	imbi2d 330	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( ( ph -> ( w C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O(1) ) ) <-> ( ph -> ( (/) C_ B -> ( x e. A |-> 0 ) e. O(1) ) ) ) )
11		sseq1 3626	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( w C_ B <-> y C_ B ) )
12		sumeq1 14419	. . . . . . . 8 |- ( w = y -> sum_ k e. w C = sum_ k e. y C )
13	12	mpteq2dv 4745	. . . . . . 7 |- ( w = y -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) = ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) )
14	13	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O(1) <-> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) ) )
15	11, 14	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( w = y -> ( ( w C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O(1) ) <-> ( y C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) ) ) )
16	15	imbi2d 330	. . . 4 |- ( w = y -> ( ( ph -> ( w C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O(1) ) ) <-> ( ph -> ( y C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) ) ) ) )
17		sseq1 3626	. . . . . 6 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( w C_ B <-> ( y u. { z } ) C_ B ) )
18		sumeq1 14419	. . . . . . . 8 |- ( w = ( y u. { z } ) -> sum_ k e. w C = sum_ k e. ( y u. { z } ) C )
19	18	mpteq2dv 4745	. . . . . . 7 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) = ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) )
20	19	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O(1) <-> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) e. O(1) ) )
21	17, 20	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( w C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O(1) ) <-> ( ( y u. { z } ) C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) e. O(1) ) ) )
22	21	imbi2d 330	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( ph -> ( w C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O(1) ) ) <-> ( ph -> ( ( y u. { z } ) C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) e. O(1) ) ) ) )
23		sseq1 3626	. . . . . 6 |- ( w = B -> ( w C_ B <-> B C_ B ) )
24		sumeq1 14419	. . . . . . . 8 |- ( w = B -> sum_ k e. w C = sum_ k e. B C )
25	24	mpteq2dv 4745	. . . . . . 7 |- ( w = B -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) = ( x e. A |-> sum_ k e. B C ) )
26	25	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( w = B -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O(1) <-> ( x e. A |-> sum_ k e. B C ) e. O(1) ) )
27	23, 26	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( w = B -> ( ( w C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O(1) ) <-> ( B C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. B C ) e. O(1) ) ) )
28	27	imbi2d 330	. . . 4 |- ( w = B -> ( ( ph -> ( w C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O(1) ) ) <-> ( ph -> ( B C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. B C ) e. O(1) ) ) ) )
29		fsumo1.1	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ RR )
30		0cn 10032	. . . . . 6 |- 0 e. CC
31		o1const 14350	. . . . . 6 |- ( ( A C_ RR /\ 0 e. CC ) -> ( x e. A |-> 0 ) e. O(1) )
32	29, 30, 31	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. A |-> 0 ) e. O(1) )
33	32	a1d 25	. . . 4 |- ( ph -> ( (/) C_ B -> ( x e. A |-> 0 ) e. O(1) ) )
34		ssun1 3776	. . . . . . . . . 10 |- y C_ ( y u. { z } )
35		sstr 3611	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y C_ ( y u. { z } ) /\ ( y u. { z } ) C_ B ) -> y C_ B )
36	34, 35	mpan 706	. . . . . . . . 9 |- ( ( y u. { z } ) C_ B -> y C_ B )
37	36	imim1i 63	. . . . . . . 8 |- ( ( y C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) ) -> ( ( y u. { z } ) C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) ) )
38		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> -. z e. y )
39		disjsn 4246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. y )
40	38, 39	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> ( y i^i { z } ) = (/) )
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> ( y i^i { z } ) = (/) )
42		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> ( y u. { z } ) = ( y u. { z } ) )
43	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> B e. Fin )
44		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> ( y u. { z } ) C_ B )
45		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ B ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
46	43, 44, 45	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
47	46	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
48	44	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> k e. B )
49	48	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> k e. B )
50		fsumo1.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ k e. B ) ) -> C e. V )
51	50	anass1rs 849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ x e. A ) -> C e. V )
52		fsumo1.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( x e. A |-> C ) e. O(1) )
53	51, 52	o1mptrcl 14353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ x e. A ) -> C e. CC )
54	53	an32s 846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ k e. B ) -> C e. CC )
55	54	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) /\ k e. B ) -> C e. CC )
56	49, 55	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> C e. CC )
57	41, 42, 47, 56	fsumsplit 14471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) C = ( sum_ k e. y C + sum_ k e. { z } C ) )
58		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ w C
59		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ k [_ w / k ]_ C
60		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = w -> C = [_ w / k ]_ C )
61	58, 59, 60	cbvsumi 14427	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- sum_ k e. { z } C = sum_ w e. { z } [_ w / k ]_ C
62	44	unssbd 3791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> { z } C_ B )
63		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- z e. _V
64	63	snss 4316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z e. B <-> { z } C_ B )
65	62, 64	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> z e. B )
66	65	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> z e. B )
67	55	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> A. k e. B C e. CC )
68		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/_ k [_ z / k ]_ C
69	68	nfel1 2779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/ k [_ z / k ]_ C e. CC
70		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k = z -> C = [_ z / k ]_ C )
71	70	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = z -> ( C e. CC <-> [_ z / k ]_ C e. CC ) )
72	69, 71	rspc 3303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. B -> ( A. k e. B C e. CC -> [_ z / k ]_ C e. CC ) )
73	66, 67, 72	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> [_ z / k ]_ C e. CC )
74		csbeq1 3536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w = z -> [_ w / k ]_ C = [_ z / k ]_ C )
75	74	sumsn 14475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z e. B /\ [_ z / k ]_ C e. CC ) -> sum_ w e. { z } [_ w / k ]_ C = [_ z / k ]_ C )
76	66, 73, 75	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> sum_ w e. { z } [_ w / k ]_ C = [_ z / k ]_ C )
77	61, 76	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> sum_ k e. { z } C = [_ z / k ]_ C )
78	77	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> ( sum_ k e. y C + sum_ k e. { z } C ) = ( sum_ k e. y C + [_ z / k ]_ C ) )
79	57, 78	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) C = ( sum_ k e. y C + [_ z / k ]_ C ) )
80	79	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) = ( x e. A |-> ( sum_ k e. y C + [_ z / k ]_ C ) ) )
81	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> A C_ RR )
82		reex 10027	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- RR e. _V
83	82	ssex 4802	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A C_ RR -> A e. _V )
84	81, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> A e. _V )
85		sumex 14418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- sum_ k e. y C e. _V
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> sum_ k e. y C e. _V )
87		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) = ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) )
88		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) = ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) )
89	84, 86, 73, 87, 88	offval2 6914	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) oF + ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) ) = ( x e. A |-> ( sum_ k e. y C + [_ z / k ]_ C ) ) )
90	80, 89	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) = ( ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) oF + ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) ) )
91	90	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) ) -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) = ( ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) oF + ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) ) )
92		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) -> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) )
93	52	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. k e. B ( x e. A |-> C ) e. O(1) )
94	93	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> A. k e. B ( x e. A |-> C ) e. O(1) )
95		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ k A
96	95, 68	nfmpt 4746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C )
97	96	nfel1 2779	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) e. O(1)
98	70	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = z -> ( x e. A |-> C ) = ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) )
99	98	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = z -> ( ( x e. A |-> C ) e. O(1) <-> ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) e. O(1) ) )
100	97, 99	rspc 3303	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. B -> ( A. k e. B ( x e. A |-> C ) e. O(1) -> ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) e. O(1) ) )
101	65, 94, 100	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) e. O(1) )
102		o1add 14344	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) /\ ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) e. O(1) ) -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) oF + ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) ) e. O(1) )
103	92, 101, 102	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) ) -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) oF + ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) ) e. O(1) )
104	91, 103	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) ) -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) e. O(1) )
105	104	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) e. O(1) ) )
106	105	expr 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. z e. y ) -> ( ( y u. { z } ) C_ B -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) e. O(1) ) ) )
107	106	a2d 29	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. z e. y ) -> ( ( ( y u. { z } ) C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) ) -> ( ( y u. { z } ) C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) e. O(1) ) ) )
108	37, 107	syl5 34	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. z e. y ) -> ( ( y C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) ) -> ( ( y u. { z } ) C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) e. O(1) ) ) )
109	108	expcom 451	. . . . . 6 |- ( -. z e. y -> ( ph -> ( ( y C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) ) -> ( ( y u. { z } ) C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) e. O(1) ) ) ) )
110	109	a2d 29	. . . . 5 |- ( -. z e. y -> ( ( ph -> ( y C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) ) ) -> ( ph -> ( ( y u. { z } ) C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) e. O(1) ) ) ) )
111	110	adantl 482	. . . 4 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( ph -> ( y C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) ) ) -> ( ph -> ( ( y u. { z } ) C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) e. O(1) ) ) ) )
112	10, 16, 22, 28, 33, 111	findcard2s 8201	. . 3 |- ( B e. Fin -> ( ph -> ( B C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. B C ) e. O(1) ) ) )
113	2, 112	mpcom 38	. 2 |- ( ph -> ( B C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. B C ) e. O(1) ) )
114	1, 113	mpi 20	1 |- ( ph -> ( x e. A |-> sum_ k e. B C ) e. O(1) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   [_csb 3533   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   |-> cmpt 4729  (class class class)co 6650   oFcof 6895   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   O(1)co1 14217   sum_csu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-o1 14221  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  rpvmasum2  25201