Theorem sumeq1i 14428

Description: Equality inference for sum. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1i.1	|- A = B

Assertion

Ref	Expression
sumeq1i	|- sum_ k e. A C = sum_ k e. B C

Distinct variable groups:   A, k   B, k

Allowed substitution hint:   C( k)

Proof of Theorem sumeq1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1i.1	. 2 |- A = B
2		sumeq1 14419	. 2 |- ( A = B -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )
3	1, 2	ax-mp 5	1 |- sum_ k e. A C = sum_ k e. B C

Syntax hints:   = wceq 1483   sum_csu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-xp 5120  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-iota 5851  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-seq 12802  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  sumeq12i  14430  fsump1i  14500  fsum2d  14502  fsumxp  14503  isumnn0nn  14574  arisum  14592  arisum2  14593  geo2sum  14604  bpoly0  14781  bpoly1  14782  bpoly2  14788  bpoly3  14789  bpoly4  14790  efsep  14840  ef4p  14843  rpnnen2lem12  14954  ovolicc2lem4  23288  itg10  23455  dveflem  23742  dvply1  24039  vieta1lem2  24066  aaliou3lem4  24101  dvtaylp  24124  pserdvlem2  24182  advlogexp  24401  log2ublem2  24674  log2ublem3  24675  log2ub  24676  ftalem5  24803  cht1  24891  1sgmprm  24924  lgsquadlem2  25106  axlowdimlem16  25837  finsumvtxdg2ssteplem4  26444  rusgrnumwwlks  26869  signsvf0  30657  signsvf1  30658  repr0  30689  k0004val0  38452  binomcxplemnotnn0  38555  fsumiunss  39807  dvnmul  40158  stoweidlem17  40234  dirkertrigeqlem1  40315  etransclem24  40475  etransclem35  40486