Theorem fsumdvdscom 24911

Description: A double commutation of divisor sums based on fsumdvdsdiag 24910. Note that A depends on both j and k. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumdvdscom.1	|- ( ph -> N e. NN )
fsumdvdscom.2	|- ( j = ( k x. m ) -> A = B )
fsumdvdscom.3	|- ( ( ph /\ ( j e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || j } ) ) -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fsumdvdscom	|- ( ph -> sum_ j e. { x e. NN | x || N } sum_ k e. { x e. NN | x || j } A = sum_ k e. { x e. NN | x || N } sum_ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } B )

Distinct variable groups:   A, m   B, j   j, k, m, x, N   ph, j, k, m

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x, j, k)   B( x, k, m)

Proof of Theorem fsumdvdscom

Dummy variables u v z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2764	. . 3 |- F/_ u sum_ k e. { x e. NN | x || j } A
2		nfcv 2764	. . . 4 |- F/_ j { x e. NN | x || u }
3		nfcsb1v 3549	. . . 4 |- F/_ j [_ u / j ]_ A
4	2, 3	nfsum 14421	. . 3 |- F/_ j sum_ k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A
5		breq2 4657	. . . . 5 |- ( j = u -> ( x || j <-> x || u ) )
6	5	rabbidv 3189	. . . 4 |- ( j = u -> { x e. NN | x || j } = { x e. NN | x || u } )
7		csbeq1a 3542	. . . . 5 |- ( j = u -> A = [_ u / j ]_ A )
8	7	adantr 481	. . . 4 |- ( ( j = u /\ k e. { x e. NN | x || j } ) -> A = [_ u / j ]_ A )
9	6, 8	sumeq12dv 14437	. . 3 |- ( j = u -> sum_ k e. { x e. NN | x || j } A = sum_ k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A )
10	1, 4, 9	cbvsumi 14427	. 2 |- sum_ j e. { x e. NN | x || N } sum_ k e. { x e. NN | x || j } A = sum_ u e. { x e. NN | x || N } sum_ k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A
11		breq2 4657	. . . . . 6 |- ( u = ( N / v ) -> ( x || u <-> x || ( N / v ) ) )
12	11	rabbidv 3189	. . . . 5 |- ( u = ( N / v ) -> { x e. NN | x || u } = { x e. NN | x || ( N / v ) } )
13		csbeq1 3536	. . . . . 6 |- ( u = ( N / v ) -> [_ u / j ]_ A = [_ ( N / v ) / j ]_ A )
14	13	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( u = ( N / v ) /\ k e. { x e. NN | x || u } ) -> [_ u / j ]_ A = [_ ( N / v ) / j ]_ A )
15	12, 14	sumeq12dv 14437	. . . 4 |- ( u = ( N / v ) -> sum_ k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A = sum_ k e. { x e. NN | x || ( N / v ) } [_ ( N / v ) / j ]_ A )
16		fzfid 12772	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 ... N ) e. Fin )
17		fsumdvdscom.1	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. NN )
18		dvdsssfz1 15040	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> { x e. NN | x || N } C_ ( 1 ... N ) )
19	17, 18	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> { x e. NN | x || N } C_ ( 1 ... N ) )
20		ssfi 8180	. . . . 5 |- ( ( ( 1 ... N ) e. Fin /\ { x e. NN | x || N } C_ ( 1 ... N ) ) -> { x e. NN | x || N } e. Fin )
21	16, 19, 20	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> { x e. NN | x || N } e. Fin )
22		eqid 2622	. . . . . 6 |- { x e. NN | x || N } = { x e. NN | x || N }
23		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( z e. { x e. NN | x || N } |-> ( N / z ) ) = ( z e. { x e. NN | x || N } |-> ( N / z ) )
24	22, 23	dvdsflip 15039	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( z e. { x e. NN | x || N } |-> ( N / z ) ) : { x e. NN | x || N } -1-1-onto-> { x e. NN | x || N } )
25	17, 24	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. { x e. NN | x || N } |-> ( N / z ) ) : { x e. NN | x || N } -1-1-onto-> { x e. NN | x || N } )
26		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( z = v -> ( N / z ) = ( N / v ) )
27		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( N / z ) e. _V
28	26, 23, 27	fvmpt3i 6287	. . . . 5 |- ( v e. { x e. NN | x || N } -> ( ( z e. { x e. NN | x || N } |-> ( N / z ) ) ` v ) = ( N / v ) )
29	28	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ v e. { x e. NN | x || N } ) -> ( ( z e. { x e. NN | x || N } |-> ( N / z ) ) ` v ) = ( N / v ) )
30		fzfid 12772	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. { x e. NN | x || N } ) -> ( 1 ... u ) e. Fin )
31		ssrab2 3687	. . . . . . . 8 |- { x e. NN | x || N } C_ NN
32		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. { x e. NN | x || N } ) -> u e. { x e. NN | x || N } )
33	31, 32	sseldi 3601	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. { x e. NN | x || N } ) -> u e. NN )
34		dvdsssfz1 15040	. . . . . . 7 |- ( u e. NN -> { x e. NN | x || u } C_ ( 1 ... u ) )
35	33, 34	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. { x e. NN | x || N } ) -> { x e. NN | x || u } C_ ( 1 ... u ) )
36		ssfi 8180	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 ... u ) e. Fin /\ { x e. NN | x || u } C_ ( 1 ... u ) ) -> { x e. NN | x || u } e. Fin )
37	30, 35, 36	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ u e. { x e. NN | x || N } ) -> { x e. NN | x || u } e. Fin )
38		fsumdvdscom.3	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( j e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || j } ) ) -> A e. CC )
39	38	ralrimivva 2971	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. j e. { x e. NN | x || N } A. k e. { x e. NN | x || j } A e. CC )
40		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ u A. k e. { x e. NN | x || j } A e. CC
41	3	nfel1 2779	. . . . . . . . . 10 |- F/ j [_ u / j ]_ A e. CC
42	2, 41	nfral 2945	. . . . . . . . 9 |- F/ j A. k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A e. CC
43	7	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( j = u -> ( A e. CC <-> [_ u / j ]_ A e. CC ) )
44	6, 43	raleqbidv 3152	. . . . . . . . 9 |- ( j = u -> ( A. k e. { x e. NN | x || j } A e. CC <-> A. k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A e. CC ) )
45	40, 42, 44	cbvral 3167	. . . . . . . 8 |- ( A. j e. { x e. NN | x || N } A. k e. { x e. NN | x || j } A e. CC <-> A. u e. { x e. NN | x || N } A. k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A e. CC )
46	39, 45	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. u e. { x e. NN | x || N } A. k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A e. CC )
47	46	r19.21bi 2932	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. { x e. NN | x || N } ) -> A. k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A e. CC )
48	47	r19.21bi 2932	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ u e. { x e. NN | x || N } ) /\ k e. { x e. NN | x || u } ) -> [_ u / j ]_ A e. CC )
49	37, 48	fsumcl 14464	. . . 4 |- ( ( ph /\ u e. { x e. NN | x || N } ) -> sum_ k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A e. CC )
50	15, 21, 25, 29, 49	fsumf1o 14454	. . 3 |- ( ph -> sum_ u e. { x e. NN | x || N } sum_ k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A = sum_ v e. { x e. NN | x || N } sum_ k e. { x e. NN | x || ( N / v ) } [_ ( N / v ) / j ]_ A )
51		dvdsdivcl 15038	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ v e. { x e. NN | x || N } ) -> ( N / v ) e. { x e. NN | x || N } )
52	17, 51	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ v e. { x e. NN | x || N } ) -> ( N / v ) e. { x e. NN | x || N } )
53	46	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ v e. { x e. NN | x || N } ) -> A. u e. { x e. NN | x || N } A. k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A e. CC )
54	13	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( u = ( N / v ) -> ( [_ u / j ]_ A e. CC <-> [_ ( N / v ) / j ]_ A e. CC ) )
55	12, 54	raleqbidv 3152	. . . . . . . 8 |- ( u = ( N / v ) -> ( A. k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A e. CC <-> A. k e. { x e. NN | x || ( N / v ) } [_ ( N / v ) / j ]_ A e. CC ) )
56	55	rspcv 3305	. . . . . . 7 |- ( ( N / v ) e. { x e. NN | x || N } -> ( A. u e. { x e. NN | x || N } A. k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A e. CC -> A. k e. { x e. NN | x || ( N / v ) } [_ ( N / v ) / j ]_ A e. CC ) )
57	52, 53, 56	sylc 65	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ v e. { x e. NN | x || N } ) -> A. k e. { x e. NN | x || ( N / v ) } [_ ( N / v ) / j ]_ A e. CC )
58	57	r19.21bi 2932	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ v e. { x e. NN | x || N } ) /\ k e. { x e. NN | x || ( N / v ) } ) -> [_ ( N / v ) / j ]_ A e. CC )
59	58	anasss 679	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( v e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || ( N / v ) } ) ) -> [_ ( N / v ) / j ]_ A e. CC )
60	17, 59	fsumdvdsdiag 24910	. . 3 |- ( ph -> sum_ v e. { x e. NN | x || N } sum_ k e. { x e. NN | x || ( N / v ) } [_ ( N / v ) / j ]_ A = sum_ k e. { x e. NN | x || N } sum_ v e. { x e. NN | x || ( N / k ) } [_ ( N / v ) / j ]_ A )
61		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( v = ( ( N / k ) / m ) -> ( N / v ) = ( N / ( ( N / k ) / m ) ) )
62	61	csbeq1d 3540	. . . . . 6 |- ( v = ( ( N / k ) / m ) -> [_ ( N / v ) / j ]_ A = [_ ( N / ( ( N / k ) / m ) ) / j ]_ A )
63		fzfid 12772	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> ( 1 ... ( N / k ) ) e. Fin )
64		dvdsdivcl 15038	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> ( N / k ) e. { x e. NN | x || N } )
65	31, 64	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> ( N / k ) e. NN )
66	17, 65	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> ( N / k ) e. NN )
67		dvdsssfz1 15040	. . . . . . . 8 |- ( ( N / k ) e. NN -> { x e. NN | x || ( N / k ) } C_ ( 1 ... ( N / k ) ) )
68	66, 67	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> { x e. NN | x || ( N / k ) } C_ ( 1 ... ( N / k ) ) )
69		ssfi 8180	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 ... ( N / k ) ) e. Fin /\ { x e. NN | x || ( N / k ) } C_ ( 1 ... ( N / k ) ) ) -> { x e. NN | x || ( N / k ) } e. Fin )
70	63, 68, 69	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> { x e. NN | x || ( N / k ) } e. Fin )
71		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- { x e. NN | x || ( N / k ) } = { x e. NN | x || ( N / k ) }
72		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( z e. { x e. NN | x || ( N / k ) } |-> ( ( N / k ) / z ) ) = ( z e. { x e. NN | x || ( N / k ) } |-> ( ( N / k ) / z ) )
73	71, 72	dvdsflip 15039	. . . . . . 7 |- ( ( N / k ) e. NN -> ( z e. { x e. NN | x || ( N / k ) } |-> ( ( N / k ) / z ) ) : { x e. NN | x || ( N / k ) } -1-1-onto-> { x e. NN | x || ( N / k ) } )
74	66, 73	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> ( z e. { x e. NN | x || ( N / k ) } |-> ( ( N / k ) / z ) ) : { x e. NN | x || ( N / k ) } -1-1-onto-> { x e. NN | x || ( N / k ) } )
75		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( z = m -> ( ( N / k ) / z ) = ( ( N / k ) / m ) )
76		ovex 6678	. . . . . . . 8 |- ( ( N / k ) / z ) e. _V
77	75, 72, 76	fvmpt3i 6287	. . . . . . 7 |- ( m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } -> ( ( z e. { x e. NN | x || ( N / k ) } |-> ( ( N / k ) / z ) ) ` m ) = ( ( N / k ) / m ) )
78	77	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( ( z e. { x e. NN | x || ( N / k ) } |-> ( ( N / k ) / z ) ) ` m ) = ( ( N / k ) / m ) )
79	17	fsumdvdsdiaglem 24909	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( k e. { x e. NN | x || N } /\ v e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( v e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || ( N / v ) } ) ) )
80	59	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( v e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || ( N / v ) } ) -> [_ ( N / v ) / j ]_ A e. CC ) )
81	79, 80	syld 47	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( k e. { x e. NN | x || N } /\ v e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> [_ ( N / v ) / j ]_ A e. CC ) )
82	81	impl 650	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ v e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> [_ ( N / v ) / j ]_ A e. CC )
83	62, 70, 74, 78, 82	fsumf1o 14454	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> sum_ v e. { x e. NN | x || ( N / k ) } [_ ( N / v ) / j ]_ A = sum_ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } [_ ( N / ( ( N / k ) / m ) ) / j ]_ A )
84		ovexd 6680	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( N / ( ( N / k ) / m ) ) e. _V )
85		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN -> N e. CC )
86		nnne0 11053	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
87	85, 86	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN -> ( N e. CC /\ N =/= 0 ) )
88	17, 87	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( N e. CC /\ N =/= 0 ) )
89	88	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( N e. CC /\ N =/= 0 ) )
90	89	simpld 475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> N e. CC )
91		elrabi 3359	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. { x e. NN | x || N } -> k e. NN )
92	91	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> k e. NN )
93	92	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> k e. NN )
94		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> k e. CC )
95		nnne0 11053	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> k =/= 0 )
96	94, 95	jca 554	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( k e. CC /\ k =/= 0 ) )
97	93, 96	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( k e. CC /\ k =/= 0 ) )
98		elrabi 3359	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } -> m e. NN )
99	98	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> m e. NN )
100		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. NN -> m e. CC )
101		nnne0 11053	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. NN -> m =/= 0 )
102	100, 101	jca 554	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN -> ( m e. CC /\ m =/= 0 ) )
103	99, 102	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( m e. CC /\ m =/= 0 ) )
104		divdiv1 10736	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. CC /\ ( k e. CC /\ k =/= 0 ) /\ ( m e. CC /\ m =/= 0 ) ) -> ( ( N / k ) / m ) = ( N / ( k x. m ) ) )
105	90, 97, 103, 104	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( ( N / k ) / m ) = ( N / ( k x. m ) ) )
106	105	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( N / ( ( N / k ) / m ) ) = ( N / ( N / ( k x. m ) ) ) )
107		nnmulcl 11043	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. NN /\ m e. NN ) -> ( k x. m ) e. NN )
108	92, 98, 107	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( k x. m ) e. NN )
109		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k x. m ) e. NN -> ( k x. m ) e. CC )
110		nnne0 11053	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k x. m ) e. NN -> ( k x. m ) =/= 0 )
111	109, 110	jca 554	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k x. m ) e. NN -> ( ( k x. m ) e. CC /\ ( k x. m ) =/= 0 ) )
112	108, 111	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( ( k x. m ) e. CC /\ ( k x. m ) =/= 0 ) )
113		ddcan 10739	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. CC /\ N =/= 0 ) /\ ( ( k x. m ) e. CC /\ ( k x. m ) =/= 0 ) ) -> ( N / ( N / ( k x. m ) ) ) = ( k x. m ) )
114	89, 112, 113	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( N / ( N / ( k x. m ) ) ) = ( k x. m ) )
115	106, 114	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( N / ( ( N / k ) / m ) ) = ( k x. m ) )
116	115	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( j = ( N / ( ( N / k ) / m ) ) <-> j = ( k x. m ) ) )
117	116	biimpa 501	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) /\ j = ( N / ( ( N / k ) / m ) ) ) -> j = ( k x. m ) )
118		fsumdvdscom.2	. . . . . . . 8 |- ( j = ( k x. m ) -> A = B )
119	117, 118	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) /\ j = ( N / ( ( N / k ) / m ) ) ) -> A = B )
120	84, 119	csbied 3560	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> [_ ( N / ( ( N / k ) / m ) ) / j ]_ A = B )
121	120	sumeq2dv 14433	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> sum_ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } [_ ( N / ( ( N / k ) / m ) ) / j ]_ A = sum_ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } B )
122	83, 121	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> sum_ v e. { x e. NN | x || ( N / k ) } [_ ( N / v ) / j ]_ A = sum_ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } B )
123	122	sumeq2dv 14433	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. { x e. NN | x || N } sum_ v e. { x e. NN | x || ( N / k ) } [_ ( N / v ) / j ]_ A = sum_ k e. { x e. NN | x || N } sum_ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } B )
124	50, 60, 123	3eqtrd 2660	. 2 |- ( ph -> sum_ u e. { x e. NN | x || N } sum_ k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A = sum_ k e. { x e. NN | x || N } sum_ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } B )
125	10, 124	syl5eq 2668	1 |- ( ph -> sum_ j e. { x e. NN | x || N } sum_ k e. { x e. NN | x || j } A = sum_ k e. { x e. NN | x || N } sum_ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   [_csb 3533   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   / cdiv 10684   NNcn 11020   ...cfz 12326   sum_csu 14416   || cdvds 14983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-dvds 14984

This theorem is referenced by:  logsqvma  25231