Theorem o1fsum 14545

Description: If A ( k ) is O(1), then sum_ k <_ x , A ( k ) is O( x). (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
o1fsum.1	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. V )
o1fsum.2	|- ( ph -> ( k e. NN |-> A ) e. O(1) )

Assertion

Ref	Expression
o1fsum	|- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A / x ) ) e. O(1) )

Distinct variable groups:   x, A   x, k, ph

Allowed substitution hints:   A( k)   V( x, k)

Proof of Theorem o1fsum

Dummy variables m c n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		o1fsum.2	. . 3 |- ( ph -> ( k e. NN |-> A ) e. O(1) )
2		nnssre 11024	. . . . 5 |- NN C_ RR
3	2	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> NN C_ RR )
4		o1fsum.1	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. V )
5	4, 1	o1mptrcl 14353	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. CC )
6		1red 10055	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. RR )
7	3, 5, 6	elo1mpt2 14266	. . 3 |- ( ph -> ( ( k e. NN |-> A ) e. O(1) <-> E. c e. ( 1 [,) +oo ) E. m e. RR A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) )
8	1, 7	mpbid 222	. 2 |- ( ph -> E. c e. ( 1 [,) +oo ) E. m e. RR A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) )
9		rpssre 11843	. . . . . 6 |- RR+ C_ RR
10	9	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> RR+ C_ RR )
11		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ n A
12		nfcsb1v 3549	. . . . . . . 8 |- F/_ k [_ n / k ]_ A
13		csbeq1a 3542	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> A = [_ n / k ]_ A )
14	11, 12, 13	cbvsumi 14427	. . . . . . 7 |- sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) [_ n / k ]_ A
15		fzfid 12772	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
16		o1f 14260	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. NN |-> A ) e. O(1) -> ( k e. NN |-> A ) : dom ( k e. NN |-> A ) --> CC )
17	1, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( k e. NN |-> A ) : dom ( k e. NN |-> A ) --> CC )
18	4	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. k e. NN A e. V )
19		dmmptg 5632	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. k e. NN A e. V -> dom ( k e. NN |-> A ) = NN )
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> dom ( k e. NN |-> A ) = NN )
21	20	feq2d 6031	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( k e. NN |-> A ) : dom ( k e. NN |-> A ) --> CC <-> ( k e. NN |-> A ) : NN --> CC ) )
22	17, 21	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( k e. NN |-> A ) : NN --> CC )
23		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN |-> A ) = ( k e. NN |-> A )
24	23	fmpt 6381	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. k e. NN A e. CC <-> ( k e. NN |-> A ) : NN --> CC )
25	22, 24	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. k e. NN A e. CC )
26	25	ad3antrrr 766	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ x e. RR+ ) -> A. k e. NN A e. CC )
27		elfznn 12370	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> n e. NN )
28	12	nfel1 2779	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k [_ n / k ]_ A e. CC
29	13	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = n -> ( A e. CC <-> [_ n / k ]_ A e. CC ) )
30	28, 29	rspc 3303	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( A. k e. NN A e. CC -> [_ n / k ]_ A e. CC ) )
31	30	impcom 446	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. k e. NN A e. CC /\ n e. NN ) -> [_ n / k ]_ A e. CC )
32	26, 27, 31	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> [_ n / k ]_ A e. CC )
33	15, 32	fsumcl 14464	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ x e. RR+ ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) [_ n / k ]_ A e. CC )
34	14, 33	syl5eqel 2705	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ x e. RR+ ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A e. CC )
35		rpcn 11841	. . . . . . 7 |- ( x e. RR+ -> x e. CC )
36	35	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ x e. RR+ ) -> x e. CC )
37		rpne0 11848	. . . . . . 7 |- ( x e. RR+ -> x =/= 0 )
38	37	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ x e. RR+ ) -> x =/= 0 )
39	34, 36, 38	divcld 10801	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A / x ) e. CC )
40		simplrl 800	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> c e. ( 1 [,) +oo ) )
41		1re 10039	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
42		elicopnf 12269	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. RR -> ( c e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( c e. RR /\ 1 <_ c ) ) )
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( c e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( c e. RR /\ 1 <_ c ) )
44	40, 43	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> ( c e. RR /\ 1 <_ c ) )
45	44	simpld 475	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> c e. RR )
46		fzfid 12772	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` c ) ) e. Fin )
47	25	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> A. k e. NN A e. CC )
48		elfznn 12370	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) -> n e. NN )
49	47, 48, 31	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ) -> [_ n / k ]_ A e. CC )
50	49	abscld 14175	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ) -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR )
51	46, 50	fsumrecl 14465	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR )
52		simplrr 801	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> m e. RR )
53	51, 52	readdcld 10069	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) e. RR )
54	34, 36, 38	absdivd 14194	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A / x ) ) = ( ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) / ( abs ` x ) ) )
55	54	adantrr 753	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( abs ` ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A / x ) ) = ( ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) / ( abs ` x ) ) )
56		rprege0 11847	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
57	56	ad2antrl 764	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
58		absid 14036	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( abs ` x ) = x )
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( abs ` x ) = x )
60	59	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) / ( abs ` x ) ) = ( ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) / x ) )
61	55, 60	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( abs ` ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A / x ) ) = ( ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) / x ) )
62	34	adantrr 753	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A e. CC )
63	62	abscld 14175	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) e. RR )
64		fzfid 12772	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
65	47, 27, 31	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> [_ n / k ]_ A e. CC )
66	65	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> [_ n / k ]_ A e. CC )
67	66	abscld 14175	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR )
68	64, 67	fsumrecl 14465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR )
69	57	simpld 475	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> x e. RR )
70	51	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR )
71	52	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> m e. RR )
72	70, 71	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) e. RR )
73	69, 72	remulcld 10070	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( x x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) ) e. RR )
74	14	fveq2i 6194	. . . . . . . . 9 |- ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) = ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) [_ n / k ]_ A )
75	64, 66	fsumabs 14533	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) [_ n / k ]_ A ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) )
76	74, 75	syl5eqbr 4688	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) )
77		fzfid 12772	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
78		ssun2 3777	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) C_ ( ( 1 ... ( |_ ` c ) ) u. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) )
79		flge1nn 12622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( c e. RR /\ 1 <_ c ) -> ( |_ ` c ) e. NN )
80	44, 79	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> ( |_ ` c ) e. NN )
81	80	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( |_ ` c ) e. NN )
82	81	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( |_ ` c ) e. RR )
83	45	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> c e. RR )
84		flle 12600	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( c e. RR -> ( |_ ` c ) <_ c )
85	83, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( |_ ` c ) <_ c )
86		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> c <_ x )
87	82, 83, 69, 85, 86	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( |_ ` c ) <_ x )
88		fznnfl 12661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. RR -> ( ( |_ ` c ) e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( ( |_ ` c ) e. NN /\ ( |_ ` c ) <_ x ) ) )
89	69, 88	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( |_ ` c ) e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( ( |_ ` c ) e. NN /\ ( |_ ` c ) <_ x ) ) )
90	81, 87, 89	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( |_ ` c ) e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
91		fzsplit 12367	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( |_ ` c ) e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) = ( ( 1 ... ( |_ ` c ) ) u. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) )
92	90, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) = ( ( 1 ... ( |_ ` c ) ) u. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) )
93	78, 92	syl5sseqr 3654	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) C_ ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
94	93	sselda 3603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
95	65	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR )
96	95	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR )
97	94, 96	syldan 487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR )
98	77, 97	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR )
99	69, 70	remulcld 10070	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( x x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) e. RR )
100	69, 71	remulcld 10070	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( x x. m ) e. RR )
101	70	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. CC )
102	101	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( 1 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) )
103		1red 10055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> 1 e. RR )
104	49	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` [_ n / k ]_ A ) )
105	46, 50, 104	fsumge0 14527	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> 0 <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) )
106	51, 105	jca 554	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR /\ 0 <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) )
107	106	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR /\ 0 <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) )
108	44	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> 1 <_ c )
109	108	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> 1 <_ c )
110	103, 83, 69, 109, 86	letrd 10194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> 1 <_ x )
111		lemul1a 10877	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 e. RR /\ x e. RR /\ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR /\ 0 <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) ) /\ 1 <_ x ) -> ( 1 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) <_ ( x x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) )
112	103, 69, 107, 110, 111	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( 1 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) <_ ( x x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) )
113	102, 112	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ ( x x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) )
114		hashcl 13147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) e. Fin -> ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) e. NN0 )
115		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) e. NN0 -> ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) e. RR )
116	77, 114, 115	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) e. RR )
117	116, 71	remulcld 10070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) x. m ) e. RR )
118	71	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> m e. RR )
119		elfzuz 12338	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) -> n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) )
120	81	peano2nnd 11037	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( |_ ` c ) + 1 ) e. NN )
121		eluznn 11758	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) e. NN /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> n e. NN )
122	120, 121	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> n e. NN )
123		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) )
124	83	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> c e. RR )
125		reflcl 12597	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( c e. RR -> ( |_ ` c ) e. RR )
126		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( |_ ` c ) e. RR -> ( ( |_ ` c ) + 1 ) e. RR )
127	124, 125, 126	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> ( ( |_ ` c ) + 1 ) e. RR )
128	122	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> n e. RR )
129		fllep1 12602	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( c e. RR -> c <_ ( ( |_ ` c ) + 1 ) )
130	124, 129	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> c <_ ( ( |_ ` c ) + 1 ) )
131		eluzle 11700	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) -> ( ( |_ ` c ) + 1 ) <_ n )
132	131	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> ( ( |_ ` c ) + 1 ) <_ n )
133	124, 127, 128, 130, 132	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> c <_ n )
134		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ k c <_ n
135		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ k abs
136	135, 12	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ k ( abs ` [_ n / k ]_ A )
137		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ k <_
138		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ k m
139	136, 137, 138	nfbr 4699	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ k ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ m
140	134, 139	nfim 1825	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ k ( c <_ n -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ m )
141		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = n -> ( c <_ k <-> c <_ n ) )
142	13	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = n -> ( abs ` A ) = ( abs ` [_ n / k ]_ A ) )
143	142	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = n -> ( ( abs ` A ) <_ m <-> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ m ) )
144	141, 143	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = n -> ( ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) <-> ( c <_ n -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ m ) ) )
145	140, 144	rspc 3303	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN -> ( A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) -> ( c <_ n -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ m ) ) )
146	122, 123, 133, 145	syl3c 66	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ m )
147	119, 146	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ m )
148	77, 97, 118, 147	fsumle 14531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ sum_ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) m )
149	71	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> m e. CC )
150		fsumconst 14522	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) e. Fin /\ m e. CC ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) m = ( ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) x. m ) )
151	77, 149, 150	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) m = ( ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) x. m ) )
152	148, 151	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ ( ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) x. m ) )
153	120	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( |_ ` c ) + 1 ) e. ZZ )
154		uzid 11702	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) e. ZZ -> ( ( |_ ` c ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) )
155	153, 154	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( |_ ` c ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) )
156		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> 0 e. RR )
157	47, 30	mpan9 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ n e. NN ) -> [_ n / k ]_ A e. CC )
158	157	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. NN ) -> [_ n / k ]_ A e. CC )
159	122, 158	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> [_ n / k ]_ A e. CC )
160	159	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. RR )
161	71	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> m e. RR )
162	159	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` [_ n / k ]_ A ) )
163	156, 160, 161, 162, 146	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) ) -> 0 <_ m )
164	163	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> A. n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) 0 <_ m )
165		biidd 252	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( ( |_ ` c ) + 1 ) -> ( 0 <_ m <-> 0 <_ m ) )
166	165	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` c ) + 1 ) ) 0 <_ m -> 0 <_ m ) )
167	155, 164, 166	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> 0 <_ m )
168		reflcl 12597	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR -> ( |_ ` x ) e. RR )
169	69, 168	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( |_ ` x ) e. RR )
170		ssdomg 8001	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin -> ( ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) C_ ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ~<_ ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) )
171	64, 93, 170	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ~<_ ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
172		hashdomi 13169	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ~<_ ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) <_ ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) )
173	171, 172	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) <_ ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) )
174		flge0nn0 12621	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( |_ ` x ) e. NN0 )
175		hashfz1 13134	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( |_ ` x ) e. NN0 -> ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) = ( |_ ` x ) )
176	57, 174, 175	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) = ( |_ ` x ) )
177	173, 176	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) <_ ( |_ ` x ) )
178		flle 12600	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR -> ( |_ ` x ) <_ x )
179	69, 178	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( |_ ` x ) <_ x )
180	116, 169, 69, 177, 179	letrd 10194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) <_ x )
181	116, 69, 71, 167, 180	lemul1ad 10963	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( # ` ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) x. m ) <_ ( x x. m ) )
182	98, 117, 100, 152, 181	letrd 10194	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ ( x x. m ) )
183	70, 98, 99, 100, 113, 182	le2addd 10646	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + sum_ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) <_ ( ( x x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) + ( x x. m ) ) )
184		ltp1 10861	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( |_ ` c ) e. RR -> ( |_ ` c ) < ( ( |_ ` c ) + 1 ) )
185		fzdisj 12368	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( |_ ` c ) < ( ( |_ ` c ) + 1 ) -> ( ( 1 ... ( |_ ` c ) ) i^i ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) = (/) )
186	82, 184, 185	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( 1 ... ( |_ ` c ) ) i^i ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) = (/) )
187	96	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` [_ n / k ]_ A ) e. CC )
188	186, 92, 64, 187	fsumsplit 14471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + sum_ n e. ( ( ( |_ ` c ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) )
189	36	adantrr 753	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> x e. CC )
190	189, 101, 149	adddid 10064	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( x x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) ) = ( ( x x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) ) + ( x x. m ) ) )
191	183, 188, 190	3brtr4d 4685	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) <_ ( x x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) ) )
192	63, 68, 73, 76, 191	letrd 10194	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) <_ ( x x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) ) )
193		rpregt0 11846	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR+ -> ( x e. RR /\ 0 < x ) )
194	193	ad2antrl 764	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( x e. RR /\ 0 < x ) )
195		ledivmul 10899	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) e. RR /\ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) e. RR /\ ( x e. RR /\ 0 < x ) ) -> ( ( ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) / x ) <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) <-> ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) <_ ( x x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) ) ) )
196	63, 72, 194, 195	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) / x ) <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) <-> ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) <_ ( x x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) ) ) )
197	192, 196	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A ) / x ) <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) )
198	61, 197	eqbrtrd 4675	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) /\ ( x e. RR+ /\ c <_ x ) ) -> ( abs ` ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A / x ) ) <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` c ) ) ( abs ` [_ n / k ]_ A ) + m ) )
199	10, 39, 45, 53, 198	elo1d 14267	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) /\ A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) ) -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A / x ) ) e. O(1) )
200	199	ex 450	. . 3 |- ( ( ph /\ ( c e. ( 1 [,) +oo ) /\ m e. RR ) ) -> ( A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A / x ) ) e. O(1) ) )
201	200	rexlimdvva 3038	. 2 |- ( ph -> ( E. c e. ( 1 [,) +oo ) E. m e. RR A. k e. NN ( c <_ k -> ( abs ` A ) <_ m ) -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A / x ) ) e. O(1) ) )
202	8, 201	mpd 15	1 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) A / x ) ) e. O(1) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   [_csb 3533   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ~<_ cdom 7953   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   [,)cico 12177   ...cfz 12326   |_cfl 12591   #chash 13117   abscabs 13974   O(1)co1 14217   sum_csu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-o1 14221  df-lo1 14222  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  selberg2lem  25239