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Theorem ovolfiniun 23269
Description: The Lebesgue outer measure function is finitely sub-additive. Finite sum version. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
ovolfiniun |- ( ( A e. Fin /\ A. k e. A ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> ( vol* ` U_ k e. A B ) <_ sum_ k e. A ( vol* ` B ) )
Distinct variable group:   A, k
Allowed substitution hint:   B( k)
Proof of Theorem ovolfiniun
Dummy variables m x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 3138 . . . 4 |- ( x = (/) -> ( A. k e. x ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) <-> A. k e. (/) ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) )
2 iuneq1 4534 . . . . . 6 |- ( x = (/) -> U_ k e. x B = U_ k e. (/) B )
32fveq2d 6195 . . . . 5 |- ( x = (/) -> ( vol* ` U_ k e. x B ) = ( vol* ` U_ k e. (/) B ) )
4 sumeq1 14419 . . . . 5 |- ( x = (/) -> sum_ k e. x ( vol* ` B ) = sum_ k e. (/) ( vol* ` B ) )
53, 4breq12d 4666 . . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( vol* ` U_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( vol* ` B ) <-> ( vol* ` U_ k e. (/) B ) <_ sum_ k e. (/) ( vol* ` B ) ) )
61, 5imbi12d 334 . . 3 |- ( x = (/) -> ( ( A. k e. x ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) -> ( vol* ` U_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( vol* ` B ) ) <-> ( A. k e. (/) ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) -> ( vol* ` U_ k e. (/) B ) <_ sum_ k e. (/) ( vol* ` B ) ) ) )
7 raleq 3138 . . . 4 |- ( x = y -> ( A. k e. x ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) <-> A. k e. y ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) )
8 iuneq1 4534 . . . . . 6 |- ( x = y -> U_ k e. x B = U_ k e. y B )
98fveq2d 6195 . . . . 5 |- ( x = y -> ( vol* ` U_ k e. x B ) = ( vol* ` U_ k e. y B ) )
10 sumeq1 14419 . . . . 5 |- ( x = y -> sum_ k e. x ( vol* ` B ) = sum_ k e. y ( vol* ` B ) )
119, 10breq12d 4666 . . . 4 |- ( x = y -> ( ( vol* ` U_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( vol* ` B ) <-> ( vol* ` U_ k e. y B ) <_ sum_ k e. y ( vol* ` B ) ) )
127, 11imbi12d 334 . . 3 |- ( x = y -> ( ( A. k e. x ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) -> ( vol* ` U_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( vol* ` B ) ) <-> ( A. k e. y ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) -> ( vol* ` U_ k e. y B ) <_ sum_ k e. y ( vol* ` B ) ) ) )
13 raleq 3138 . . . 4 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( A. k e. x ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) <-> A. k e. ( y u. { z } ) ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) )
14 iuneq1 4534 . . . . . 6 |- ( x = ( y u. { z } ) -> U_ k e. x B = U_ k e. ( y u. { z } ) B )
1514fveq2d 6195 . . . . 5 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( vol* ` U_ k e. x B ) = ( vol* ` U_ k e. ( y u. { z } ) B ) )
16 sumeq1 14419 . . . . 5 |- ( x = ( y u. { z } ) -> sum_ k e. x ( vol* ` B ) = sum_ k e. ( y u. { z } ) ( vol* ` B ) )
1715, 16breq12d 4666 . . . 4 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( vol* ` U_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( vol* ` B ) <-> ( vol* ` U_ k e. ( y u. { z } ) B ) <_ sum_ k e. ( y u. { z } ) ( vol* ` B ) ) )
1813, 17imbi12d 334 . . 3 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( A. k e. x ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) -> ( vol* ` U_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( vol* ` B ) ) <-> ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) -> ( vol* ` U_ k e. ( y u. { z } ) B ) <_ sum_ k e. ( y u. { z } ) ( vol* ` B ) ) ) )
19 raleq 3138 . . . 4 |- ( x = A -> ( A. k e. x ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) <-> A. k e. A ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) )
20 iuneq1 4534 . . . . . 6 |- ( x = A -> U_ k e. x B = U_ k e. A B )
2120fveq2d 6195 . . . . 5 |- ( x = A -> ( vol* ` U_ k e. x B ) = ( vol* ` U_ k e. A B ) )
22 sumeq1 14419 . . . . 5 |- ( x = A -> sum_ k e. x ( vol* ` B ) = sum_ k e. A ( vol* ` B ) )
2321, 22breq12d 4666 . . . 4 |- ( x = A -> ( ( vol* ` U_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( vol* ` B ) <-> ( vol* ` U_ k e. A B ) <_ sum_ k e. A ( vol* ` B ) ) )
2419, 23imbi12d 334 . . 3 |- ( x = A -> ( ( A. k e. x ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) -> ( vol* ` U_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( vol* ` B ) ) <-> ( A. k e. A ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) -> ( vol* ` U_ k e. A B ) <_ sum_ k e. A ( vol* ` B ) ) ) )
25 0le0 11110 . . . . 5 |- 0 <_ 0
26 0iun 4577 . . . . . . 7 |- U_ k e. (/) B = (/)
2726fveq2i 6194 . . . . . 6 |- ( vol* ` U_ k e. (/) B ) = ( vol* ` (/) )
28 ovol0 23261 . . . . . 6 |- ( vol* ` (/) ) = 0
2927, 28eqtri 2644 . . . . 5 |- ( vol* ` U_ k e. (/) B ) = 0
30 sum0 14452 . . . . 5 |- sum_ k e. (/) ( vol* ` B ) = 0
3125, 29, 303brtr4i 4683 . . . 4 |- ( vol* ` U_ k e. (/) B ) <_ sum_ k e. (/) ( vol* ` B )
3231a1i 11 . . 3 |- ( A. k e. (/) ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) -> ( vol* ` U_ k e. (/) B ) <_ sum_ k e. (/) ( vol* ` B ) )
33 ssun1 3776 . . . . . 6 |- y C_ ( y u. { z } )
34 ssralv 3666 . . . . . 6 |- ( y C_ ( y u. { z } ) -> ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) -> A. k e. y ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) )
3533, 34ax-mp 5 . . . . 5 |- ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) -> A. k e. y ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) )
3635imim1i 63 . . . 4 |- ( ( A. k e. y ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) -> ( vol* ` U_ k e. y B ) <_ sum_ k e. y ( vol* ` B ) ) -> ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) -> ( vol* ` U_ k e. y B ) <_ sum_ k e. y ( vol* ` B ) ) )
37 simprl 794 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) /\ ( vol* ` U_ k e. y B ) <_ sum_ k e. y ( vol* ` B ) ) ) -> A. k e. ( y u. { z } ) ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) )
38 nfcsb1v 3549 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k [_ m / k ]_ B
39 nfcv 2764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k RR
4038, 39nfss 3596 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k [_ m / k ]_ B C_ RR
41 nfcv 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ k vol*
4241, 38nffv 6198 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k ( vol* ` [_ m / k ]_ B )
4342nfel1 2779 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k ( vol* ` [_ m / k ]_ B ) e. RR
4440, 43nfan 1828 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ k ( [_ m / k ]_ B C_ RR /\ ( vol* ` [_ m / k ]_ B ) e. RR )
45 csbeq1a 3542 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = m -> B = [_ m / k ]_ B )
4645sseq1d 3632 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = m -> ( B C_ RR <-> [_ m / k ]_ B C_ RR ) )
4745fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = m -> ( vol* ` B ) = ( vol* ` [_ m / k ]_ B ) )
4847eleq1d 2686 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = m -> ( ( vol* ` B ) e. RR <-> ( vol* ` [_ m / k ]_ B ) e. RR ) )
4946, 48anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = m -> ( ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) <-> ( [_ m / k ]_ B C_ RR /\ ( vol* ` [_ m / k ]_ B ) e. RR ) ) )
5044, 49rspc 3303 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. ( y u. { z } ) -> ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) -> ( [_ m / k ]_ B C_ RR /\ ( vol* ` [_ m / k ]_ B ) e. RR ) ) )
5137, 50mpan9 486 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) /\ ( vol* ` U_ k e. y B ) <_ sum_ k e. y ( vol* ` B ) ) ) /\ m e. ( y u. { z } ) ) -> ( [_ m / k ]_ B C_ RR /\ ( vol* ` [_ m / k ]_ B ) e. RR ) )
5251simpld 475 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) /\ ( vol* ` U_ k e. y B ) <_ sum_ k e. y ( vol* ` B ) ) ) /\ m e. ( y u. { z } ) ) -> [_ m / k ]_ B C_ RR )
5352ralrimiva 2966 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) /\ ( vol* ` U_ k e. y B ) <_ sum_ k e. y ( vol* ` B ) ) ) -> A. m e. ( y u. { z } ) [_ m / k ]_ B C_ RR )
54 iunss 4561 . . . . . . . . . 10 |- ( U_ m e. ( y u. { z } ) [_ m / k ]_ B C_ RR <-> A. m e. ( y u. { z } ) [_ m / k ]_ B C_ RR )
5553, 54sylibr 224 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) /\ ( vol* ` U_ k e. y B ) <_ sum_ k e. y ( vol* ` B ) ) ) -> U_ m e. ( y u. { z } ) [_ m / k ]_ B C_ RR )
56 iunss1 4532 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y C_ ( y u. { z } ) -> U_ m e. y [_ m / k ]_ B C_ U_ m e. ( y u. { z } ) [_ m / k ]_ B )
5733, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 |- U_ m e. y [_ m / k ]_ B C_ U_ m e. ( y u. { z } ) [_ m / k ]_ B
5857, 55syl5ss 3614 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) /\ ( vol* ` U_ k e. y B ) <_ sum_ k e. y ( vol* ` B ) ) ) -> U_ m e. y [_ m / k ]_ B C_ RR )
59 simpll 790 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) /\ ( vol* ` U_ k e. y B ) <_ sum_ k e. y ( vol* ` B ) ) ) -> y e. Fin )
60 elun1 3780 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. y -> m e. ( y u. { z } ) )
6151simprd 479 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) /\ ( vol* ` U_ k e. y B ) <_ sum_ k e. y ( vol* ` B ) ) ) /\ m e. ( y u. { z } ) ) -> ( vol* ` [_ m / k ]_ B ) e. RR )
6260, 61sylan2 491 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) /\ ( vol* ` U_ k e. y B ) <_ sum_ k e. y ( vol* ` B ) ) ) /\ m e. y ) -> ( vol* ` [_ m / k ]_ B ) e. RR )
6359, 62fsumrecl 14465 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) /\ ( vol* ` U_ k e. y B ) <_ sum_ k e. y ( vol* ` B ) ) ) -> sum_ m e. y ( vol* ` [_ m / k ]_ B ) e. RR )
64 simprr 796 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) /\ ( vol* ` U_ k e. y B ) <_ sum_ k e. y ( vol* ` B ) ) ) -> ( vol* ` U_ k e. y B ) <_ sum_ k e. y ( vol* ` B ) )
65 nfcv 2764 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ m B
6665, 38, 45cbviun 4557 . . . . . . . . . . . . 13 |- U_ k e. y B = U_ m e. y [_ m / k ]_ B
6766fveq2i 6194 . . . . . . . . . . . 12 |- ( vol* ` U_ k e. y B ) = ( vol* ` U_ m e. y [_ m / k ]_ B )
68 nfcv 2764 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ m ( vol* ` B )
6968, 42, 47cbvsumi 14427 . . . . . . . . . . . 12 |- sum_ k e. y ( vol* ` B ) = sum_ m e. y ( vol* ` [_ m / k ]_ B )
7064, 67, 693brtr3g 4686 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) /\ ( vol* ` U_ k e. y B ) <_ sum_ k e. y ( vol* ` B ) ) ) -> ( vol* ` U_ m e. y [_ m / k ]_ B ) <_ sum_ m e. y ( vol* ` [_ m / k ]_ B ) )
71 ovollecl 23251 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( U_ m e. y [_ m / k ]_ B C_ RR /\ sum_ m e. y ( vol* ` [_ m / k ]_ B ) e. RR /\ ( vol* ` U_ m e. y [_ m / k ]_ B ) <_ sum_ m e. y ( vol* ` [_ m / k ]_ B ) ) -> ( vol* ` U_ m e. y [_ m / k ]_ B ) e. RR )
7258, 63, 70, 71syl3anc 1326 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) /\ ( vol* ` U_ k e. y B ) <_ sum_ k e. y ( vol* ` B ) ) ) -> ( vol* ` U_ m e. y [_ m / k ]_ B ) e. RR )
73 ssun2 3777 . . . . . . . . . . . . 13 |- { z } C_ ( y u. { z } )
74 vsnid 4209 . . . . . . . . . . . . 13 |- z e. { z }
7573, 74sselii 3600 . . . . . . . . . . . 12 |- z e. ( y u. { z } )
76 nfcsb1v 3549 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ k [_ z / k ]_ B
7776, 39nfss 3596 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ k [_ z / k ]_ B C_ RR
7841, 76nffv 6198 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ k ( vol* ` [_ z / k ]_ B )
7978nfel1 2779 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ k ( vol* ` [_ z / k ]_ B ) e. RR
8077, 79nfan 1828 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k ( [_ z / k ]_ B C_ RR /\ ( vol* ` [_ z / k ]_ B ) e. RR )
81 csbeq1a 3542 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = z -> B = [_ z / k ]_ B )
8281sseq1d 3632 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = z -> ( B C_ RR <-> [_ z / k ]_ B C_ RR ) )
8381fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = z -> ( vol* ` B ) = ( vol* ` [_ z / k ]_ B ) )
8483eleq1d 2686 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = z -> ( ( vol* ` B ) e. RR <-> ( vol* ` [_ z / k ]_ B ) e. RR ) )
8582, 84anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = z -> ( ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) <-> ( [_ z / k ]_ B C_ RR /\ ( vol* ` [_ z / k ]_ B ) e. RR ) ) )
8680, 85rspc 3303 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( y u. { z } ) -> ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) -> ( [_ z / k ]_ B C_ RR /\ ( vol* ` [_ z / k ]_ B ) e. RR ) ) )
8775, 37, 86mpsyl 68 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) /\ ( vol* ` U_ k e. y B ) <_ sum_ k e. y ( vol* ` B ) ) ) -> ( [_ z / k ]_ B C_ RR /\ ( vol* ` [_ z / k ]_ B ) e. RR ) )
8887simprd 479 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) /\ ( vol* ` U_ k e. y B ) <_ sum_ k e. y ( vol* ` B ) ) ) -> ( vol* ` [_ z / k ]_ B ) e. RR )
8972, 88readdcld 10069 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) /\ ( vol* ` U_ k e. y B ) <_ sum_ k e. y ( vol* ` B ) ) ) -> ( ( vol* ` U_ m e. y [_ m / k ]_ B ) + ( vol* ` [_ z / k ]_ B ) ) e. RR )
90 iunxun 4605 . . . . . . . . . . . 12 |- U_ m e. ( y u. { z } ) [_ m / k ]_ B = ( U_ m e. y [_ m / k ]_ B u. U_ m e. { z } [_ m / k ]_ B )
91 vex 3203 . . . . . . . . . . . . . 14 |- z e. _V
92 csbeq1 3536 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = z -> [_ m / k ]_ B = [_ z / k ]_ B )
9391, 92iunxsn 4603 . . . . . . . . . . . . 13 |- U_ m e. { z } [_ m / k ]_ B = [_ z / k ]_ B
9493uneq2i 3764 . . . . . . . . . . . 12 |- ( U_ m e. y [_ m / k ]_ B u. U_ m e. { z } [_ m / k ]_ B ) = ( U_ m e. y [_ m / k ]_ B u. [_ z / k ]_ B )
9590, 94eqtri 2644 . . . . . . . . . . 11 |- U_ m e. ( y u. { z } ) [_ m / k ]_ B = ( U_ m e. y [_ m / k ]_ B u. [_ z / k ]_ B )
9695fveq2i 6194 . . . . . . . . . 10 |- ( vol* ` U_ m e. ( y u. { z } ) [_ m / k ]_ B ) = ( vol* ` ( U_ m e. y [_ m / k ]_ B u. [_ z / k ]_ B ) )
97 ovolun 23267 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( U_ m e. y [_ m / k ]_ B C_ RR /\ ( vol* ` U_ m e. y [_ m / k ]_ B ) e. RR ) /\ ( [_ z / k ]_ B C_ RR /\ ( vol* ` [_ z / k ]_ B ) e. RR ) ) -> ( vol* ` ( U_ m e. y [_ m / k ]_ B u. [_ z / k ]_ B ) ) <_ ( ( vol* ` U_ m e. y [_ m / k ]_ B ) + ( vol* ` [_ z / k ]_ B ) ) )
9858, 72, 87, 97syl21anc 1325 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) /\ ( vol* ` U_ k e. y B ) <_ sum_ k e. y ( vol* ` B ) ) ) -> ( vol* ` ( U_ m e. y [_ m / k ]_ B u. [_ z / k ]_ B ) ) <_ ( ( vol* ` U_ m e. y [_ m / k ]_ B ) + ( vol* ` [_ z / k ]_ B ) ) )
9996, 98syl5eqbr 4688 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) /\ ( vol* ` U_ k e. y B ) <_ sum_ k e. y ( vol* ` B ) ) ) -> ( vol* ` U_ m e. ( y u. { z } ) [_ m / k ]_ B ) <_ ( ( vol* ` U_ m e. y [_ m / k ]_ B ) + ( vol* ` [_ z / k ]_ B ) ) )
100 ovollecl 23251 . . . . . . . . 9 |- ( ( U_ m e. ( y u. { z } ) [_ m / k ]_ B C_ RR /\ ( ( vol* ` U_ m e. y [_ m / k ]_ B ) + ( vol* ` [_ z / k ]_ B ) ) e. RR /\ ( vol* ` U_ m e. ( y u. { z } ) [_ m / k ]_ B ) <_ ( ( vol* ` U_ m e. y [_ m / k ]_ B ) + ( vol* ` [_ z / k ]_ B ) ) ) -> ( vol* ` U_ m e. ( y u. { z } ) [_ m / k ]_ B ) e. RR )
10155, 89, 99, 100syl3anc 1326 . . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) /\ ( vol* ` U_ k e. y B ) <_ sum_ k e. y ( vol* ` B ) ) ) -> ( vol* ` U_ m e. ( y u. { z } ) [_ m / k ]_ B ) e. RR )
102 snfi 8038 . . . . . . . . . . 11 |- { z } e. Fin
103 unfi 8227 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. Fin /\ { z } e. Fin ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
104102, 103mpan2 707 . . . . . . . . . 10 |- ( y e. Fin -> ( y u. { z } ) e. Fin )
105104ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) /\ ( vol* ` U_ k e. y B ) <_ sum_ k e. y ( vol* ` B ) ) ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
106105, 61fsumrecl 14465 . . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) /\ ( vol* ` U_ k e. y B ) <_ sum_ k e. y ( vol* ` B ) ) ) -> sum_ m e. ( y u. { z } ) ( vol* ` [_ m / k ]_ B ) e. RR )
10772, 63, 88, 70leadd1dd 10641 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) /\ ( vol* ` U_ k e. y B ) <_ sum_ k e. y ( vol* ` B ) ) ) -> ( ( vol* ` U_ m e. y [_ m / k ]_ B ) + ( vol* ` [_ z / k ]_ B ) ) <_ ( sum_ m e. y ( vol* ` [_ m / k ]_ B ) + ( vol* ` [_ z / k ]_ B ) ) )
108 simplr 792 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) /\ ( vol* ` U_ k e. y B ) <_ sum_ k e. y ( vol* ` B ) ) ) -> -. z e. y )
109 disjsn 4246 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. y )
110108, 109sylibr 224 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) /\ ( vol* ` U_ k e. y B ) <_ sum_ k e. y ( vol* ` B ) ) ) -> ( y i^i { z } ) = (/) )
111 eqidd 2623 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) /\ ( vol* ` U_ k e. y B ) <_ sum_ k e. y ( vol* ` B ) ) ) -> ( y u. { z } ) = ( y u. { z } ) )
11261recnd 10068 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) /\ ( vol* ` U_ k e. y B ) <_ sum_ k e. y ( vol* ` B ) ) ) /\ m e. ( y u. { z } ) ) -> ( vol* ` [_ m / k ]_ B ) e. CC )
113110, 111, 105, 112fsumsplit 14471 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) /\ ( vol* ` U_ k e. y B ) <_ sum_ k e. y ( vol* ` B ) ) ) -> sum_ m e. ( y u. { z } ) ( vol* ` [_ m / k ]_ B ) = ( sum_ m e. y ( vol* ` [_ m / k ]_ B ) + sum_ m e. { z } ( vol* ` [_ m / k ]_ B ) ) )
11488recnd 10068 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) /\ ( vol* ` U_ k e. y B ) <_ sum_ k e. y ( vol* ` B ) ) ) -> ( vol* ` [_ z / k ]_ B ) e. CC )
11592fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = z -> ( vol* ` [_ m / k ]_ B ) = ( vol* ` [_ z / k ]_ B ) )
116115sumsn 14475 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. _V /\ ( vol* ` [_ z / k ]_ B ) e. CC ) -> sum_ m e. { z } ( vol* ` [_ m / k ]_ B ) = ( vol* ` [_ z / k ]_ B ) )
11791, 114, 116sylancr 695 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) /\ ( vol* ` U_ k e. y B ) <_ sum_ k e. y ( vol* ` B ) ) ) -> sum_ m e. { z } ( vol* ` [_ m / k ]_ B ) = ( vol* ` [_ z / k ]_ B ) )
118117oveq2d 6666 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) /\ ( vol* ` U_ k e. y B ) <_ sum_ k e. y ( vol* ` B ) ) ) -> ( sum_ m e. y ( vol* ` [_ m / k ]_ B ) + sum_ m e. { z } ( vol* ` [_ m / k ]_ B ) ) = ( sum_ m e. y ( vol* ` [_ m / k ]_ B ) + ( vol* ` [_ z / k ]_ B ) ) )
119113, 118eqtrd 2656 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) /\ ( vol* ` U_ k e. y B ) <_ sum_ k e. y ( vol* ` B ) ) ) -> sum_ m e. ( y u. { z } ) ( vol* ` [_ m / k ]_ B ) = ( sum_ m e. y ( vol* ` [_ m / k ]_ B ) + ( vol* ` [_ z / k ]_ B ) ) )
120107, 119breqtrrd 4681 . . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) /\ ( vol* ` U_ k e. y B ) <_ sum_ k e. y ( vol* ` B ) ) ) -> ( ( vol* ` U_ m e. y [_ m / k ]_ B ) + ( vol* ` [_ z / k ]_ B ) ) <_ sum_ m e. ( y u. { z } ) ( vol* ` [_ m / k ]_ B ) )
121101, 89, 106, 99, 120letrd 10194 . . . . . . 7 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) /\ ( vol* ` U_ k e. y B ) <_ sum_ k e. y ( vol* ` B ) ) ) -> ( vol* ` U_ m e. ( y u. { z } ) [_ m / k ]_ B ) <_ sum_ m e. ( y u. { z } ) ( vol* ` [_ m / k ]_ B ) )
12265, 38, 45cbviun 4557 . . . . . . . 8 |- U_ k e. ( y u. { z } ) B = U_ m e. ( y u. { z } ) [_ m / k ]_ B
123122fveq2i 6194 . . . . . . 7 |- ( vol* ` U_ k e. ( y u. { z } ) B ) = ( vol* ` U_ m e. ( y u. { z } ) [_ m / k ]_ B )
12468, 42, 47cbvsumi 14427 . . . . . . 7 |- sum_ k e. ( y u. { z } ) ( vol* ` B ) = sum_ m e. ( y u. { z } ) ( vol* ` [_ m / k ]_ B )
125121, 123, 1243brtr4g 4687 . . . . . 6 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) /\ ( vol* ` U_ k e. y B ) <_ sum_ k e. y ( vol* ` B ) ) ) -> ( vol* ` U_ k e. ( y u. { z } ) B ) <_ sum_ k e. ( y u. { z } ) ( vol* ` B ) )
126125exp32 631 . . . . 5 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) -> ( ( vol* ` U_ k e. y B ) <_ sum_ k e. y ( vol* ` B ) -> ( vol* ` U_ k e. ( y u. { z } ) B ) <_ sum_ k e. ( y u. { z } ) ( vol* ` B ) ) ) )
127126a2d 29 . . . 4 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) -> ( vol* ` U_ k e. y B ) <_ sum_ k e. y ( vol* ` B ) ) -> ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) -> ( vol* ` U_ k e. ( y u. { z } ) B ) <_ sum_ k e. ( y u. { z } ) ( vol* ` B ) ) ) )
12836, 127syl5 34 . . 3 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( A. k e. y ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) -> ( vol* ` U_ k e. y B ) <_ sum_ k e. y ( vol* ` B ) ) -> ( A. k e. ( y u. { z } ) ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) -> ( vol* ` U_ k e. ( y u. { z } ) B ) <_ sum_ k e. ( y u. { z } ) ( vol* ` B ) ) ) )
1296, 12, 18, 24, 32, 128findcard2s 8201 . 2 |- ( A e. Fin -> ( A. k e. A ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) -> ( vol* ` U_ k e. A B ) <_ sum_ k e. A ( vol* ` B ) ) )
130129imp 445 1 |- ( ( A e. Fin /\ A. k e. A ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> ( vol* ` U_ k e. A B ) <_ sum_ k e. A ( vol* ` B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   [_csb 3533   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   <_ cle 10075   sum_csu 14416   vol*covol 23231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-xmet 19739  df-met 19740  df-ovol 23233
This theorem is referenced by:  volfiniun  23315  uniioombllem3a  23352  uniioombllem4  23354  i1fd  23448  i1fadd  23462  i1fmul  23463  volsupnfl  33454
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