Theorem fsum2dlem 14501

Description: Lemma for fsum2d 14502- induction step. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsum2d.1	|- ( z = <. j , k >. -> D = C )
fsum2d.2	|- ( ph -> A e. Fin )
fsum2d.3	|- ( ( ph /\ j e. A ) -> B e. Fin )
fsum2d.4	|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. B ) ) -> C e. CC )
fsum2d.5	|- ( ph -> -. y e. x )
fsum2d.6	|- ( ph -> ( x u. { y } ) C_ A )
fsum2d.7	|- ( ps <-> sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D )

Assertion

Ref	Expression
fsum2dlem	|- ( ( ph /\ ps ) -> sum_ j e. ( x u. { y } ) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D )

Distinct variable groups:   j, k, x, y, z, A   B, k, x, y, z   D, j, k, x, y   x, C, y, z   ph, j, k, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( x, y, z, j, k)   B( j)   C( j, k)   D( z)

Proof of Theorem fsum2dlem

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ps )
2		fsum2d.7	. . . 4 |- ( ps <-> sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D )
3	1, 2	sylib 208	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> sum_ j e. x sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D )
4		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ m sum_ k e. B C
5		nfcsb1v 3549	. . . . . . 7 |- F/_ j [_ m / j ]_ B
6		nfcsb1v 3549	. . . . . . 7 |- F/_ j [_ m / j ]_ C
7	5, 6	nfsum 14421	. . . . . 6 |- F/_ j sum_ k e. [_ m / j ]_ B [_ m / j ]_ C
8		csbeq1a 3542	. . . . . . 7 |- ( j = m -> B = [_ m / j ]_ B )
9		csbeq1a 3542	. . . . . . . 8 |- ( j = m -> C = [_ m / j ]_ C )
10	9	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( j = m /\ k e. B ) -> C = [_ m / j ]_ C )
11	8, 10	sumeq12dv 14437	. . . . . 6 |- ( j = m -> sum_ k e. B C = sum_ k e. [_ m / j ]_ B [_ m / j ]_ C )
12	4, 7, 11	cbvsumi 14427	. . . . 5 |- sum_ j e. { y } sum_ k e. B C = sum_ m e. { y } sum_ k e. [_ m / j ]_ B [_ m / j ]_ C
13		fsum2d.6	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x u. { y } ) C_ A )
14	13	unssbd 3791	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { y } C_ A )
15		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
16	15	snss 4316	. . . . . . . 8 |- ( y e. A <-> { y } C_ A )
17	14, 16	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ph -> y e. A )
18		fsum2d.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> B e. Fin )
19	18	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. j e. A B e. Fin )
20		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ j [_ y / j ]_ B
21	20	nfel1 2779	. . . . . . . . . 10 |- F/ j [_ y / j ]_ B e. Fin
22		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = y -> B = [_ y / j ]_ B )
23	22	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( j = y -> ( B e. Fin <-> [_ y / j ]_ B e. Fin ) )
24	21, 23	rspc 3303	. . . . . . . . 9 |- ( y e. A -> ( A. j e. A B e. Fin -> [_ y / j ]_ B e. Fin ) )
25	17, 19, 24	sylc 65	. . . . . . . 8 |- ( ph -> [_ y / j ]_ B e. Fin )
26		fsum2d.4	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. B ) ) -> C e. CC )
27	26	ralrimivva 2971	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. j e. A A. k e. B C e. CC )
28		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ j [_ y / j ]_ C
29	28	nfel1 2779	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j [_ y / j ]_ C e. CC
30	20, 29	nfral 2945	. . . . . . . . . . 11 |- F/ j A. k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C e. CC
31		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = y -> C = [_ y / j ]_ C )
32	31	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = y -> ( C e. CC <-> [_ y / j ]_ C e. CC ) )
33	22, 32	raleqbidv 3152	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = y -> ( A. k e. B C e. CC <-> A. k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C e. CC ) )
34	30, 33	rspc 3303	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. A -> ( A. j e. A A. k e. B C e. CC -> A. k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C e. CC ) )
35	17, 27, 34	sylc 65	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C e. CC )
36	35	r19.21bi 2932	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. [_ y / j ]_ B ) -> [_ y / j ]_ C e. CC )
37	25, 36	fsumcl 14464	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C e. CC )
38		csbeq1 3536	. . . . . . . . 9 |- ( m = y -> [_ m / j ]_ B = [_ y / j ]_ B )
39		csbeq1 3536	. . . . . . . . . 10 |- ( m = y -> [_ m / j ]_ C = [_ y / j ]_ C )
40	39	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( m = y /\ k e. [_ m / j ]_ B ) -> [_ m / j ]_ C = [_ y / j ]_ C )
41	38, 40	sumeq12dv 14437	. . . . . . . 8 |- ( m = y -> sum_ k e. [_ m / j ]_ B [_ m / j ]_ C = sum_ k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C )
42	41	sumsn 14475	. . . . . . 7 |- ( ( y e. A /\ sum_ k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C e. CC ) -> sum_ m e. { y } sum_ k e. [_ m / j ]_ B [_ m / j ]_ C = sum_ k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C )
43	17, 37, 42	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ m e. { y } sum_ k e. [_ m / j ]_ B [_ m / j ]_ C = sum_ k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C )
44		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ m [_ y / j ]_ C
45		nfcsb1v 3549	. . . . . . . 8 |- F/_ k [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C
46		csbeq1a 3542	. . . . . . . 8 |- ( k = m -> [_ y / j ]_ C = [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C )
47	44, 45, 46	cbvsumi 14427	. . . . . . 7 |- sum_ k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C = sum_ m e. [_ y / j ]_ B [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C
48		csbeq1 3536	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( 2nd ` z ) -> [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C )
49		snfi 8038	. . . . . . . . . 10 |- { y } e. Fin
50		xpfi 8231	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { y } e. Fin /\ [_ y / j ]_ B e. Fin ) -> ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) e. Fin )
51	49, 25, 50	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) e. Fin )
52		2ndconst 7266	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. A -> ( 2nd |` ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) : ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) -1-1-onto-> [_ y / j ]_ B )
53	17, 52	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2nd |` ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) : ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) -1-1-onto-> [_ y / j ]_ B )
54		fvres 6207	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) -> ( ( 2nd |` ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) ` z ) = ( 2nd ` z ) )
55	54	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) -> ( ( 2nd |` ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) ` z ) = ( 2nd ` z ) )
56	45	nfel1 2779	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C e. CC
57	46	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = m -> ( [_ y / j ]_ C e. CC <-> [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C e. CC ) )
58	56, 57	rspc 3303	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. [_ y / j ]_ B -> ( A. k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C e. CC -> [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C e. CC ) )
59	35, 58	mpan9 486	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. [_ y / j ]_ B ) -> [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C e. CC )
60	48, 51, 53, 55, 59	fsumf1o 14454	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ m e. [_ y / j ]_ B [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C = sum_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C )
61		elxp 5131	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) <-> E. m E. k ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { y } /\ k e. [_ y / j ]_ B ) ) )
62		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ j z = <. m , k >.
63		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ j m e. { y }
64	20	nfcri 2758	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ j k e. [_ y / j ]_ B
65	63, 64	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ j ( m e. { y } /\ k e. [_ y / j ]_ B )
66	62, 65	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ j ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { y } /\ k e. [_ y / j ]_ B ) )
67	66	nfex 2154	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ j E. k ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { y } /\ k e. [_ y / j ]_ B ) )
68		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ m E. k ( z = <. j , k >. /\ ( j = y /\ k e. B ) )
69		opeq1 4402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m = j -> <. m , k >. = <. j , k >. )
70	69	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = j -> ( z = <. m , k >. <-> z = <. j , k >. ) )
71		eqtr2 2642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( m = j /\ m = y ) -> j = y )
72	71, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( m = j /\ m = y ) -> B = [_ y / j ]_ B )
73	72	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( m = j /\ m = y ) -> ( k e. B <-> k e. [_ y / j ]_ B ) )
74	73	pm5.32da 673	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m = j -> ( ( m = y /\ k e. B ) <-> ( m = y /\ k e. [_ y / j ]_ B ) ) )
75		velsn 4193	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m e. { y } <-> m = y )
76	75	anbi1i 731	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( m e. { y } /\ k e. [_ y / j ]_ B ) <-> ( m = y /\ k e. [_ y / j ]_ B ) )
77	74, 76	syl6rbbr 279	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m = j -> ( ( m e. { y } /\ k e. [_ y / j ]_ B ) <-> ( m = y /\ k e. B ) ) )
78		equequ1 1952	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m = j -> ( m = y <-> j = y ) )
79	78	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m = j -> ( ( m = y /\ k e. B ) <-> ( j = y /\ k e. B ) ) )
80	77, 79	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = j -> ( ( m e. { y } /\ k e. [_ y / j ]_ B ) <-> ( j = y /\ k e. B ) ) )
81	70, 80	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = j -> ( ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { y } /\ k e. [_ y / j ]_ B ) ) <-> ( z = <. j , k >. /\ ( j = y /\ k e. B ) ) ) )
82	81	exbidv 1850	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = j -> ( E. k ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { y } /\ k e. [_ y / j ]_ B ) ) <-> E. k ( z = <. j , k >. /\ ( j = y /\ k e. B ) ) ) )
83	67, 68, 82	cbvex 2272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. m E. k ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { y } /\ k e. [_ y / j ]_ B ) ) <-> E. j E. k ( z = <. j , k >. /\ ( j = y /\ k e. B ) ) )
84	61, 83	bitri 264	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) <-> E. j E. k ( z = <. j , k >. /\ ( j = y /\ k e. B ) ) )
85		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j ph
86		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ j ( 2nd ` z )
87	86, 28	nfcsb 3551	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ j [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C
88	87	nfeq2 2780	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j D = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C
89		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k ph
90		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C
91	90	nfeq2 2780	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k D = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C
92		fsum2d.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = <. j , k >. -> D = C )
93	92	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z = <. j , k >. ) /\ ( j = y /\ k e. B ) ) -> D = C )
94	31	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z = <. j , k >. ) /\ ( j = y /\ k e. B ) ) -> C = [_ y / j ]_ C )
95		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = <. j , k >. -> ( 2nd ` z ) = ( 2nd ` <. j , k >. ) )
96		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- j e. _V
97		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- k e. _V
98	96, 97	op2nd 7177	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2nd ` <. j , k >. ) = k
99	95, 98	syl6req 2673	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = <. j , k >. -> k = ( 2nd ` z ) )
100	99	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z = <. j , k >. ) /\ ( j = y /\ k e. B ) ) -> k = ( 2nd ` z ) )
101		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = ( 2nd ` z ) -> [_ y / j ]_ C = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C )
102	100, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z = <. j , k >. ) /\ ( j = y /\ k e. B ) ) -> [_ y / j ]_ C = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C )
103	93, 94, 102	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z = <. j , k >. ) /\ ( j = y /\ k e. B ) ) -> D = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C )
104	103	expl 648	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( z = <. j , k >. /\ ( j = y /\ k e. B ) ) -> D = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C ) )
105	89, 91, 104	exlimd 2087	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( E. k ( z = <. j , k >. /\ ( j = y /\ k e. B ) ) -> D = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C ) )
106	85, 88, 105	exlimd 2087	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E. j E. k ( z = <. j , k >. /\ ( j = y /\ k e. B ) ) -> D = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C ) )
107	84, 106	syl5bi 232	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) -> D = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C ) )
108	107	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) -> D = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C )
109	108	sumeq2dv 14433	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) D = sum_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ y / j ]_ C )
110	60, 109	eqtr4d 2659	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ m e. [_ y / j ]_ B [_ m / k ]_ [_ y / j ]_ C = sum_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) D )
111	47, 110	syl5eq 2668	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. [_ y / j ]_ B [_ y / j ]_ C = sum_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) D )
112	43, 111	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ m e. { y } sum_ k e. [_ m / j ]_ B [_ m / j ]_ C = sum_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) D )
113	12, 112	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( ph -> sum_ j e. { y } sum_ k e. B C = sum_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) D )
114	113	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> sum_ j e. { y } sum_ k e. B C = sum_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) D )
115	3, 114	oveq12d 6668	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( sum_ j e. x sum_ k e. B C + sum_ j e. { y } sum_ k e. B C ) = ( sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D + sum_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) D ) )
116		fsum2d.5	. . . . 5 |- ( ph -> -. y e. x )
117		disjsn 4246	. . . . 5 |- ( ( x i^i { y } ) = (/) <-> -. y e. x )
118	116, 117	sylibr 224	. . . 4 |- ( ph -> ( x i^i { y } ) = (/) )
119		eqidd 2623	. . . 4 |- ( ph -> ( x u. { y } ) = ( x u. { y } ) )
120		fsum2d.2	. . . . 5 |- ( ph -> A e. Fin )
121		ssfi 8180	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( x u. { y } ) e. Fin )
122	120, 13, 121	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( x u. { y } ) e. Fin )
123	13	sselda 3603	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) -> j e. A )
124	26	anassrs 680	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. A ) /\ k e. B ) -> C e. CC )
125	18, 124	fsumcl 14464	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> sum_ k e. B C e. CC )
126	123, 125	syldan 487	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) -> sum_ k e. B C e. CC )
127	118, 119, 122, 126	fsumsplit 14471	. . 3 |- ( ph -> sum_ j e. ( x u. { y } ) sum_ k e. B C = ( sum_ j e. x sum_ k e. B C + sum_ j e. { y } sum_ k e. B C ) )
128	127	adantr 481	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> sum_ j e. ( x u. { y } ) sum_ k e. B C = ( sum_ j e. x sum_ k e. B C + sum_ j e. { y } sum_ k e. B C ) )
129		eliun 4524	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) <-> E. j e. x z e. ( { j } X. B ) )
130		xp1st 7198	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( { j } X. B ) -> ( 1st ` z ) e. { j } )
131		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1st ` z ) e. { j } -> ( 1st ` z ) = j )
132	130, 131	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( { j } X. B ) -> ( 1st ` z ) = j )
133	132	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j e. x /\ z e. ( { j } X. B ) ) -> ( 1st ` z ) = j )
134		simpl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j e. x /\ z e. ( { j } X. B ) ) -> j e. x )
135	133, 134	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. x /\ z e. ( { j } X. B ) ) -> ( 1st ` z ) e. x )
136	135	rexlimiva 3028	. . . . . . . . . 10 |- ( E. j e. x z e. ( { j } X. B ) -> ( 1st ` z ) e. x )
137	129, 136	sylbi 207	. . . . . . . . 9 |- ( z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) -> ( 1st ` z ) e. x )
138		xp1st 7198	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) -> ( 1st ` z ) e. { y } )
139	137, 138	anim12i 590	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) /\ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) -> ( ( 1st ` z ) e. x /\ ( 1st ` z ) e. { y } ) )
140		elin 3796	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( U_ j e. x ( { j } X. B ) i^i ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) <-> ( z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) /\ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) )
141		elin 3796	. . . . . . . 8 |- ( ( 1st ` z ) e. ( x i^i { y } ) <-> ( ( 1st ` z ) e. x /\ ( 1st ` z ) e. { y } ) )
142	139, 140, 141	3imtr4i 281	. . . . . . 7 |- ( z e. ( U_ j e. x ( { j } X. B ) i^i ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) -> ( 1st ` z ) e. ( x i^i { y } ) )
143	118	eleq2d 2687	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1st ` z ) e. ( x i^i { y } ) <-> ( 1st ` z ) e. (/) ) )
144		noel 3919	. . . . . . . . 9 |- -. ( 1st ` z ) e. (/)
145	144	pm2.21i 116	. . . . . . . 8 |- ( ( 1st ` z ) e. (/) -> z e. (/) )
146	143, 145	syl6bi 243	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1st ` z ) e. ( x i^i { y } ) -> z e. (/) ) )
147	142, 146	syl5 34	. . . . . 6 |- ( ph -> ( z e. ( U_ j e. x ( { j } X. B ) i^i ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) -> z e. (/) ) )
148	147	ssrdv 3609	. . . . 5 |- ( ph -> ( U_ j e. x ( { j } X. B ) i^i ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) C_ (/) )
149		ss0 3974	. . . . 5 |- ( ( U_ j e. x ( { j } X. B ) i^i ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) C_ (/) -> ( U_ j e. x ( { j } X. B ) i^i ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) = (/) )
150	148, 149	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( U_ j e. x ( { j } X. B ) i^i ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) = (/) )
151		iunxun 4605	. . . . . 6 |- U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) = ( U_ j e. x ( { j } X. B ) u. U_ j e. { y } ( { j } X. B ) )
152		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ m ( { j } X. B )
153		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ j { m }
154	153, 5	nfxp 5142	. . . . . . . . 9 |- F/_ j ( { m } X. [_ m / j ]_ B )
155		sneq 4187	. . . . . . . . . 10 |- ( j = m -> { j } = { m } )
156	155, 8	xpeq12d 5140	. . . . . . . . 9 |- ( j = m -> ( { j } X. B ) = ( { m } X. [_ m / j ]_ B ) )
157	152, 154, 156	cbviun 4557	. . . . . . . 8 |- U_ j e. { y } ( { j } X. B ) = U_ m e. { y } ( { m } X. [_ m / j ]_ B )
158		sneq 4187	. . . . . . . . . 10 |- ( m = y -> { m } = { y } )
159	158, 38	xpeq12d 5140	. . . . . . . . 9 |- ( m = y -> ( { m } X. [_ m / j ]_ B ) = ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) )
160	15, 159	iunxsn 4603	. . . . . . . 8 |- U_ m e. { y } ( { m } X. [_ m / j ]_ B ) = ( { y } X. [_ y / j ]_ B )
161	157, 160	eqtri 2644	. . . . . . 7 |- U_ j e. { y } ( { j } X. B ) = ( { y } X. [_ y / j ]_ B )
162	161	uneq2i 3764	. . . . . 6 |- ( U_ j e. x ( { j } X. B ) u. U_ j e. { y } ( { j } X. B ) ) = ( U_ j e. x ( { j } X. B ) u. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) )
163	151, 162	eqtri 2644	. . . . 5 |- U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) = ( U_ j e. x ( { j } X. B ) u. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) )
164	163	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) = ( U_ j e. x ( { j } X. B ) u. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) ) )
165		snfi 8038	. . . . . . 7 |- { j } e. Fin
166	123, 18	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) -> B e. Fin )
167		xpfi 8231	. . . . . . 7 |- ( ( { j } e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( { j } X. B ) e. Fin )
168	165, 166, 167	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) -> ( { j } X. B ) e. Fin )
169	168	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ph -> A. j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) e. Fin )
170		iunfi 8254	. . . . 5 |- ( ( ( x u. { y } ) e. Fin /\ A. j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) e. Fin ) -> U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) e. Fin )
171	122, 169, 170	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) e. Fin )
172		eliun 4524	. . . . . 6 |- ( z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) <-> E. j e. ( x u. { y } ) z e. ( { j } X. B ) )
173		elxp 5131	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( { j } X. B ) <-> E. m E. k ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) )
174		simprl 794	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> z = <. m , k >. )
175		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> m e. { j } )
176		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. { j } -> m = j )
177	175, 176	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> m = j )
178	177	opeq1d 4408	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> <. m , k >. = <. j , k >. )
179	174, 178	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> z = <. j , k >. )
180	179, 92	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> D = C )
181		simpll 790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> ph )
182	123	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> j e. A )
183		simprrr 805	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> k e. B )
184	181, 182, 183, 26	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> C e. CC )
185	180, 184	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) /\ ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) ) -> D e. CC )
186	185	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) -> ( ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) -> D e. CC ) )
187	186	exlimdvv 1862	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) -> ( E. m E. k ( z = <. m , k >. /\ ( m e. { j } /\ k e. B ) ) -> D e. CC ) )
188	173, 187	syl5bi 232	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( x u. { y } ) ) -> ( z e. ( { j } X. B ) -> D e. CC ) )
189	188	rexlimdva 3031	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. j e. ( x u. { y } ) z e. ( { j } X. B ) -> D e. CC ) )
190	172, 189	syl5bi 232	. . . . 5 |- ( ph -> ( z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) -> D e. CC ) )
191	190	imp 445	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) ) -> D e. CC )
192	150, 164, 171, 191	fsumsplit 14471	. . 3 |- ( ph -> sum_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D = ( sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D + sum_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) D ) )
193	192	adantr 481	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> sum_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D = ( sum_ z e. U_ j e. x ( { j } X. B ) D + sum_ z e. ( { y } X. [_ y / j ]_ B ) D ) )
194	115, 128, 193	3eqtr4d 2666	1 |- ( ( ph /\ ps ) -> sum_ j e. ( x u. { y } ) sum_ k e. B C = sum_ z e. U_ j e. ( x u. { y } ) ( { j } X. B ) D )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   [_csb 3533   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   <.cop 4183   U_ciun 4520   X. cxp 5112   |` cres 5116   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   Fincfn 7955   CCcc 9934   + caddc 9939   sum_csu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  fsum2d  14502