Theorem coeeq2 23998

Description: Compute the coefficient function given a sum expression for the polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dgrle.1	|- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
dgrle.2	|- ( ph -> N e. NN0 )
dgrle.3	|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> A e. CC )
dgrle.4	|- ( ph -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( A x. ( z ^ k ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
coeeq2	|- ( ph -> (coeff ` F ) = ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) )

Distinct variable groups:   z, A   z, k, N   ph, k, z

Allowed substitution hints:   A( k)   S( z, k)   F( z, k)

Proof of Theorem coeeq2

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dgrle.1	. 2 |- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
2		dgrle.2	. 2 |- ( ph -> N e. NN0 )
3		simpll 790	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k <_ N ) -> ph )
4		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k <_ N ) -> k <_ N )
5		simplr 792	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k <_ N ) -> k e. NN0 )
6		nn0uz 11722	. . . . . . . 8 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
7	5, 6	syl6eleq 2711	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k <_ N ) -> k e. ( ZZ>= ` 0 ) )
8	2	nn0zd 11480	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ZZ )
9	8	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k <_ N ) -> N e. ZZ )
10		elfz5 12334	. . . . . . 7 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( k e. ( 0 ... N ) <-> k <_ N ) )
11	7, 9, 10	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k <_ N ) -> ( k e. ( 0 ... N ) <-> k <_ N ) )
12	4, 11	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k <_ N ) -> k e. ( 0 ... N ) )
13		dgrle.3	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> A e. CC )
14	3, 12, 13	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ k <_ N ) -> A e. CC )
15		0cnd 10033	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. NN0 ) /\ -. k <_ N ) -> 0 e. CC )
16	14, 15	ifclda 4120	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> if ( k <_ N , A , 0 ) e. CC )
17		eqid 2622	. . 3 |- ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) = ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) )
18	16, 17	fmptd 6385	. 2 |- ( ph -> ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) : NN0 --> CC )
19		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> k e. NN0 )
20	17	fvmpt2 6291	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN0 /\ if ( k <_ N , A , 0 ) e. CC ) -> ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` k ) = if ( k <_ N , A , 0 ) )
21	19, 16, 20	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` k ) = if ( k <_ N , A , 0 ) )
22	21	neeq1d 2853	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` k ) =/= 0 <-> if ( k <_ N , A , 0 ) =/= 0 ) )
23		iffalse 4095	. . . . . . 7 |- ( -. k <_ N -> if ( k <_ N , A , 0 ) = 0 )
24	23	necon1ai 2821	. . . . . 6 |- ( if ( k <_ N , A , 0 ) =/= 0 -> k <_ N )
25	22, 24	syl6bi 243	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) )
26	25	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) )
27		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ m ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` k ) =/= 0 -> k <_ N )
28		nffvmpt1 6199	. . . . . . 7 |- F/_ k ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` m )
29		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ k 0
30	28, 29	nfne 2894	. . . . . 6 |- F/ k ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` m ) =/= 0
31		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ k m <_ N
32	30, 31	nfim 1825	. . . . 5 |- F/ k ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` m ) =/= 0 -> m <_ N )
33		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( k = m -> ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` k ) = ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` m ) )
34	33	neeq1d 2853	. . . . . 6 |- ( k = m -> ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` k ) =/= 0 <-> ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` m ) =/= 0 ) )
35		breq1 4656	. . . . . 6 |- ( k = m -> ( k <_ N <-> m <_ N ) )
36	34, 35	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( k = m -> ( ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) <-> ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` m ) =/= 0 -> m <_ N ) ) )
37	27, 32, 36	cbvral 3167	. . . 4 |- ( A. k e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) <-> A. m e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` m ) =/= 0 -> m <_ N ) )
38	26, 37	sylib 208	. . 3 |- ( ph -> A. m e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` m ) =/= 0 -> m <_ N ) )
39		plyco0 23948	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) : NN0 --> CC ) -> ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } <-> A. m e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` m ) =/= 0 -> m <_ N ) ) )
40	2, 18, 39	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } <-> A. m e. NN0 ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` m ) =/= 0 -> m <_ N ) ) )
41	38, 40	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } )
42		dgrle.4	. . 3 |- ( ph -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( A x. ( z ^ k ) ) ) )
43		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ m ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` k ) x. ( z ^ k ) )
44		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ k x.
45		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ k ( z ^ m )
46	28, 44, 45	nfov 6676	. . . . . 6 |- F/_ k ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` m ) x. ( z ^ m ) )
47		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( k = m -> ( z ^ k ) = ( z ^ m ) )
48	33, 47	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( k = m -> ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` m ) x. ( z ^ m ) ) )
49	43, 46, 48	cbvsumi 14427	. . . . 5 |- sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) = sum_ m e. ( 0 ... N ) ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` m ) x. ( z ^ m ) )
50		elfznn0 12433	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. NN0 )
51	50	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> k e. NN0 )
52		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> k <_ N )
53	52	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> k <_ N )
54	53	iftrued 4094	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> if ( k <_ N , A , 0 ) = A )
55	13	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> A e. CC )
56	54, 55	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> if ( k <_ N , A , 0 ) e. CC )
57	51, 56, 20	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` k ) = if ( k <_ N , A , 0 ) )
58	57, 54	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` k ) = A )
59	58	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( A x. ( z ^ k ) ) )
60	59	sumeq2dv 14433	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( A x. ( z ^ k ) ) )
61	49, 60	syl5eqr 2670	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ m e. ( 0 ... N ) ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` m ) x. ( z ^ m ) ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( A x. ( z ^ k ) ) )
62	61	mpteq2dva 4744	. . 3 |- ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ m e. ( 0 ... N ) ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` m ) x. ( z ^ m ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( A x. ( z ^ k ) ) ) )
63	42, 62	eqtr4d 2659	. 2 |- ( ph -> F = ( z e. CC |-> sum_ m e. ( 0 ... N ) ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` m ) x. ( z ^ m ) ) ) )
64	1, 2, 18, 41, 63	coeeq 23983	1 |- ( ph -> (coeff ` F ) = ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   <_ cle 10075   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   ^cexp 12860   sum_csu 14416  Polycply 23940  coeffccoe 23942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-0p 23437  df-ply 23944  df-coe 23946

This theorem is referenced by:  dgrle  23999  aareccl  24081  elaa2lem  40450