Theorem cnextfres1 21872

Description: F and its extension by continuity agree on the domain of F. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnextf.1	|- C = U. J
cnextf.2	|- B = U. K
cnextf.3	|- ( ph -> J e. Top )
cnextf.4	|- ( ph -> K e. Haus )
cnextf.5	|- ( ph -> F : A --> B )
cnextf.a	|- ( ph -> A C_ C )
cnextf.6	|- ( ph -> ( ( cls ` J ) ` A ) = C )
cnextf.7	|- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) =/= (/) )
cnextcn.8	|- ( ph -> K e. Reg )
cnextfres1.1	|- ( ph -> F e. ( ( J ↾t A ) Cn K ) )

Assertion

Ref	Expression
cnextfres1	|- ( ph -> ( ( ( JCnExt K ) ` F ) |` A ) = F )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, C   x, F   x, J   x, K   ph, x

Proof of Theorem cnextfres1

Dummy variables y v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnextf.1	. . . . 5 |- C = U. J
2		cnextf.2	. . . . 5 |- B = U. K
3		cnextf.3	. . . . 5 |- ( ph -> J e. Top )
4		cnextf.4	. . . . 5 |- ( ph -> K e. Haus )
5		cnextf.5	. . . . 5 |- ( ph -> F : A --> B )
6		cnextf.a	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ C )
7		cnextf.6	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( cls ` J ) ` A ) = C )
8		cnextf.7	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) =/= (/) )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	cnextf 21870	. . . 4 |- ( ph -> ( ( JCnExt K ) ` F ) : C --> B )
10		ffn 6045	. . . 4 |- ( ( ( JCnExt K ) ` F ) : C --> B -> ( ( JCnExt K ) ` F ) Fn C )
11	9, 10	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( ( JCnExt K ) ` F ) Fn C )
12		fnssres 6004	. . 3 |- ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) Fn C /\ A C_ C ) -> ( ( ( JCnExt K ) ` F ) |` A ) Fn A )
13	11, 6, 12	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( ( ( JCnExt K ) ` F ) |` A ) Fn A )
14		ffn 6045	. . 3 |- ( F : A --> B -> F Fn A )
15	5, 14	syl 17	. 2 |- ( ph -> F Fn A )
16		fvres 6207	. . . 4 |- ( y e. A -> ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) |` A ) ` y ) = ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` y ) )
17	16	adantl 482	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) |` A ) ` y ) = ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` y ) )
18	6	sselda 3603	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> y e. C )
19	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	cnextfvval 21869	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. C ) -> ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` y ) = U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) ↾t A ) ) ` F ) )
20	18, 19	syldan 487	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( ( JCnExt K ) ` F ) ` y ) = U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) ↾t A ) ) ` F ) )
21	5	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( F ` y ) e. B )
22		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> y e. A )
23	1	restuni 20966	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. Top /\ A C_ C ) -> A = U. ( J ↾t A ) )
24	3, 6, 23	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A = U. ( J ↾t A ) )
25	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> A = U. ( J ↾t A ) )
26	22, 25	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> y e. U. ( J ↾t A ) )
27		cnextfres1.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F e. ( ( J ↾t A ) Cn K ) )
28		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( cls ` J ) ` A ) e. _V
29	7, 28	syl6eqelr 2710	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> C e. _V )
30	29, 6	ssexd 4805	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A e. _V )
31		resttop 20964	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. Top /\ A e. _V ) -> ( J ↾t A ) e. Top )
32	3, 30, 31	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( J ↾t A ) e. Top )
33		haustop 21135	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. Haus -> K e. Top )
34	4, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> K e. Top )
35	24	feq2d 6031	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( F : A --> B <-> F : U. ( J ↾t A ) --> B ) )
36	5, 35	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> F : U. ( J ↾t A ) --> B )
37		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U. ( J ↾t A ) = U. ( J ↾t A )
38	37, 2	cnnei 21086	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( J ↾t A ) e. Top /\ K e. Top /\ F : U. ( J ↾t A ) --> B ) -> ( F e. ( ( J ↾t A ) Cn K ) <-> A. y e. U. ( J ↾t A ) A. w e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` y ) } ) E. v e. ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) ( F " v ) C_ w ) )
39	32, 34, 36, 38	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( F e. ( ( J ↾t A ) Cn K ) <-> A. y e. U. ( J ↾t A ) A. w e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` y ) } ) E. v e. ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) ( F " v ) C_ w ) )
40	27, 39	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. y e. U. ( J ↾t A ) A. w e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` y ) } ) E. v e. ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) ( F " v ) C_ w )
41	40	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. U. ( J ↾t A ) ) -> A. w e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` y ) } ) E. v e. ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) ( F " v ) C_ w )
42	26, 41	syldan 487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> A. w e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` y ) } ) E. v e. ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) ( F " v ) C_ w )
43	42	r19.21bi 2932	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. A ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` y ) } ) ) -> E. v e. ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) ( F " v ) C_ w )
44	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> J e. Top )
45	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> A C_ C )
46		snssi 4339	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. A -> { y } C_ A )
47	46	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> { y } C_ A )
48	1	neitr 20984	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ A C_ C /\ { y } C_ A ) -> ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) = ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) ↾t A ) )
49	44, 45, 47, 48	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) = ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) ↾t A ) )
50	49	rexeqdv 3145	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( E. v e. ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) ( F " v ) C_ w <-> E. v e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) ↾t A ) ( F " v ) C_ w ) )
51	50	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. A ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` y ) } ) ) -> ( E. v e. ( ( nei ` ( J ↾t A ) ) ` { y } ) ( F " v ) C_ w <-> E. v e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) ↾t A ) ( F " v ) C_ w ) )
52	43, 51	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. A ) /\ w e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` y ) } ) ) -> E. v e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) ↾t A ) ( F " v ) C_ w )
53	52	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> A. w e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` y ) } ) E. v e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) ↾t A ) ( F " v ) C_ w )
54	4	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> K e. Haus )
55	2	toptopon 20722	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` B ) )
56	55	biimpi 206	. . . . . . . . 9 |- ( K e. Top -> K e. (TopOn ` B ) )
57	54, 33, 56	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> K e. (TopOn ` B ) )
58	7	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( cls ` J ) ` A ) = C )
59	18, 58	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> y e. ( ( cls ` J ) ` A ) )
60	1	toptopon 20722	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` C ) )
61	3, 60	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> J e. (TopOn ` C ) )
62	61	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> J e. (TopOn ` C ) )
63		trnei 21696	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` C ) /\ A C_ C /\ y e. C ) -> ( y e. ( ( cls ` J ) ` A ) <-> ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) ↾t A ) e. ( Fil ` A ) ) )
64	62, 45, 18, 63	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( y e. ( ( cls ` J ) ` A ) <-> ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) ↾t A ) e. ( Fil ` A ) ) )
65	59, 64	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) ↾t A ) e. ( Fil ` A ) )
66	5	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> F : A --> B )
67		flfnei 21795	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. (TopOn ` B ) /\ ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) ↾t A ) e. ( Fil ` A ) /\ F : A --> B ) -> ( ( F ` y ) e. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) ↾t A ) ) ` F ) <-> ( ( F ` y ) e. B /\ A. w e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` y ) } ) E. v e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) ↾t A ) ( F " v ) C_ w ) ) )
68	57, 65, 66, 67	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( F ` y ) e. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) ↾t A ) ) ` F ) <-> ( ( F ` y ) e. B /\ A. w e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` y ) } ) E. v e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) ↾t A ) ( F " v ) C_ w ) ) )
69	21, 53, 68	mpbir2and 957	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( F ` y ) e. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) ↾t A ) ) ` F ) )
70		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( x e. C <-> y e. C ) )
71	70	anbi2d 740	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( ph /\ x e. C ) <-> ( ph /\ y e. C ) ) )
72		sneq 4187	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> { x } = { y } )
73	72	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( ( nei ` J ) ` { x } ) = ( ( nei ` J ) ` { y } ) )
74	73	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) = ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) ↾t A ) )
75	74	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) = ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) ↾t A ) ) )
76	75	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) = ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) ↾t A ) ) ` F ) )
77	76	neeq1d 2853	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) =/= (/) <-> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) ↾t A ) ) ` F ) =/= (/) ) )
78	71, 77	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { x } ) ↾t A ) ) ` F ) =/= (/) ) <-> ( ( ph /\ y e. C ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) ↾t A ) ) ` F ) =/= (/) ) ) )
79	78, 8	chvarv 2263	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. C ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) ↾t A ) ) ` F ) =/= (/) )
80	18, 79	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) ↾t A ) ) ` F ) =/= (/) )
81	2	hausflf2 21802	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. Haus /\ ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) ↾t A ) e. ( Fil ` A ) /\ F : A --> B ) /\ ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) ↾t A ) ) ` F ) =/= (/) ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) ↾t A ) ) ` F ) ~~ 1o )
82	54, 65, 66, 80, 81	syl31anc 1329	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) ↾t A ) ) ` F ) ~~ 1o )
83		en1eqsn 8190	. . . . . 6 |- ( ( ( F ` y ) e. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) ↾t A ) ) ` F ) /\ ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) ↾t A ) ) ` F ) ~~ 1o ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) ↾t A ) ) ` F ) = { ( F ` y ) } )
84	69, 82, 83	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) ↾t A ) ) ` F ) = { ( F ` y ) } )
85	84	unieqd 4446	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) ↾t A ) ) ` F ) = U. { ( F ` y ) } )
86		fvex 6201	. . . . 5 |- ( F ` y ) e. _V
87	86	unisn 4451	. . . 4 |- U. { ( F ` y ) } = ( F ` y )
88	85, 87	syl6eq 2672	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> U. ( ( K fLimf ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) ↾t A ) ) ` F ) = ( F ` y ) )
89	17, 20, 88	3eqtrd 2660	. 2 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( ( ( JCnExt K ) ` F ) |` A ) ` y ) = ( F ` y ) )
90	13, 15, 89	eqfnfvd 6314	1 |- ( ph -> ( ( ( JCnExt K ) ` F ) |` A ) = F )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |` cres 5116   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1oc1o 7553   ~~ cen 7952   ↾_t crest 16081   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   clsccl 20822   neicnei 20901   Cn ccn 21028   Hauscha 21112   Regcreg 21113   Filcfil 21649   fLimf cflf 21739  CnExtccnext 21863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-cnext 21864

This theorem is referenced by:  rrhre  30065