Theorem cnmptk2 21489

Description: The uncurrying of a curried function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmptk1p.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
cnmptk1p.k	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
cnmptk1p.l	|- ( ph -> L e. (TopOn ` Z ) )
cnmptk1p.n	|- ( ph -> K e. 𝑛Locally Comp )
cnmptk2.a	|- ( ph -> ( x e. X |-> ( y e. Y |-> A ) ) e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) )

Assertion

Ref	Expression
cnmptk2	|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )

Distinct variable groups:   x, J   x, K   x, L   x, y, X   x, Y, y   ph, x, y   y, Z

Allowed substitution hints:   A( x, y)   J( y)   K( y)   L( y)   Z( x)

Proof of Theorem cnmptk2

Dummy variables f k w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nffvmpt1 6199	. . . . 5 |- F/_ x ( ( x e. X |-> ( y e. Y |-> A ) ) ` w )
2		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ x k
3	1, 2	nffv 6198	. . . 4 |- F/_ x ( ( ( x e. X |-> ( y e. Y |-> A ) ) ` w ) ` k )
4		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ y X
5		nfmpt1 4747	. . . . . . 7 |- F/_ y ( y e. Y |-> A )
6	4, 5	nfmpt 4746	. . . . . 6 |- F/_ y ( x e. X |-> ( y e. Y |-> A ) )
7		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ y w
8	6, 7	nffv 6198	. . . . 5 |- F/_ y ( ( x e. X |-> ( y e. Y |-> A ) ) ` w )
9		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ y k
10	8, 9	nffv 6198	. . . 4 |- F/_ y ( ( ( x e. X |-> ( y e. Y |-> A ) ) ` w ) ` k )
11		nfcv 2764	. . . 4 |- F/_ w ( ( ( x e. X |-> ( y e. Y |-> A ) ) ` x ) ` y )
12		nfcv 2764	. . . 4 |- F/_ k ( ( ( x e. X |-> ( y e. Y |-> A ) ) ` x ) ` y )
13		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( w = x -> ( ( x e. X |-> ( y e. Y |-> A ) ) ` w ) = ( ( x e. X |-> ( y e. Y |-> A ) ) ` x ) )
14	13	fveq1d 6193	. . . . 5 |- ( w = x -> ( ( ( x e. X |-> ( y e. Y |-> A ) ) ` w ) ` k ) = ( ( ( x e. X |-> ( y e. Y |-> A ) ) ` x ) ` k ) )
15		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( k = y -> ( ( ( x e. X |-> ( y e. Y |-> A ) ) ` x ) ` k ) = ( ( ( x e. X |-> ( y e. Y |-> A ) ) ` x ) ` y ) )
16	14, 15	sylan9eq 2676	. . . 4 |- ( ( w = x /\ k = y ) -> ( ( ( x e. X |-> ( y e. Y |-> A ) ) ` w ) ` k ) = ( ( ( x e. X |-> ( y e. Y |-> A ) ) ` x ) ` y ) )
17	3, 10, 11, 12, 16	cbvmpt2 6734	. . 3 |- ( w e. X , k e. Y |-> ( ( ( x e. X |-> ( y e. Y |-> A ) ) ` w ) ` k ) ) = ( x e. X , y e. Y |-> ( ( ( x e. X |-> ( y e. Y |-> A ) ) ` x ) ` y ) )
18		simplr 792	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. Y ) -> x e. X )
19		cnmptk1p.j	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
20		cnmptk1p.n	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> K e. 𝑛Locally Comp )
21		nllytop 21276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. 𝑛Locally Comp -> K e. Top )
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> K e. Top )
23		cnmptk1p.l	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> L e. (TopOn ` Z ) )
24		topontop 20718	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( L e. (TopOn ` Z ) -> L e. Top )
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> L e. Top )
26		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( L ^ko K ) = ( L ^ko K )
27	26	xkotopon 21403	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. Top /\ L e. Top ) -> ( L ^ko K ) e. (TopOn ` ( K Cn L ) ) )
28	22, 25, 27	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( L ^ko K ) e. (TopOn ` ( K Cn L ) ) )
29		cnmptk2.a	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( y e. Y |-> A ) ) e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) )
30		cnf2 21053	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( L ^ko K ) e. (TopOn ` ( K Cn L ) ) /\ ( x e. X |-> ( y e. Y |-> A ) ) e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) ) -> ( x e. X |-> ( y e. Y |-> A ) ) : X --> ( K Cn L ) )
31	19, 28, 29, 30	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( y e. Y |-> A ) ) : X --> ( K Cn L ) )
32		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. X |-> ( y e. Y |-> A ) ) = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> A ) )
33	32	fmpt 6381	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. X ( y e. Y |-> A ) e. ( K Cn L ) <-> ( x e. X |-> ( y e. Y |-> A ) ) : X --> ( K Cn L ) )
34	31, 33	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. X ( y e. Y |-> A ) e. ( K Cn L ) )
35	34	r19.21bi 2932	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( y e. Y |-> A ) e. ( K Cn L ) )
36	35	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. Y ) -> ( y e. Y |-> A ) e. ( K Cn L ) )
37	32	fvmpt2 6291	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. X /\ ( y e. Y |-> A ) e. ( K Cn L ) ) -> ( ( x e. X |-> ( y e. Y |-> A ) ) ` x ) = ( y e. Y |-> A ) )
38	18, 36, 37	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. Y ) -> ( ( x e. X |-> ( y e. Y |-> A ) ) ` x ) = ( y e. Y |-> A ) )
39	38	fveq1d 6193	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. Y ) -> ( ( ( x e. X |-> ( y e. Y |-> A ) ) ` x ) ` y ) = ( ( y e. Y |-> A ) ` y ) )
40		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. Y ) -> y e. Y )
41		cnmptk1p.k	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
42	41	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
43	23	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> L e. (TopOn ` Z ) )
44		cnf2 21053	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ L e. (TopOn ` Z ) /\ ( y e. Y |-> A ) e. ( K Cn L ) ) -> ( y e. Y |-> A ) : Y --> Z )
45	42, 43, 35, 44	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( y e. Y |-> A ) : Y --> Z )
46		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. Y |-> A ) = ( y e. Y |-> A )
47	46	fmpt 6381	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. Y A e. Z <-> ( y e. Y |-> A ) : Y --> Z )
48	45, 47	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. y e. Y A e. Z )
49	48	r19.21bi 2932	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. Y ) -> A e. Z )
50	46	fvmpt2 6291	. . . . . . 7 |- ( ( y e. Y /\ A e. Z ) -> ( ( y e. Y |-> A ) ` y ) = A )
51	40, 49, 50	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. Y ) -> ( ( y e. Y |-> A ) ` y ) = A )
52	39, 51	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. Y ) -> ( ( ( x e. X |-> ( y e. Y |-> A ) ) ` x ) ` y ) = A )
53	52	3impa 1259	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. Y ) -> ( ( ( x e. X |-> ( y e. Y |-> A ) ) ` x ) ` y ) = A )
54	53	mpt2eq3dva 6719	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> ( ( ( x e. X |-> ( y e. Y |-> A ) ) ` x ) ` y ) ) = ( x e. X , y e. Y |-> A ) )
55	17, 54	syl5eq 2668	. 2 |- ( ph -> ( w e. X , k e. Y |-> ( ( ( x e. X |-> ( y e. Y |-> A ) ) ` w ) ` k ) ) = ( x e. X , y e. Y |-> A ) )
56	19, 41	cnmpt1st 21471	. . . 4 |- ( ph -> ( w e. X , k e. Y |-> w ) e. ( ( J tX K ) Cn J ) )
57	19, 41, 56, 29	cnmpt21f 21475	. . 3 |- ( ph -> ( w e. X , k e. Y |-> ( ( x e. X |-> ( y e. Y |-> A ) ) ` w ) ) e. ( ( J tX K ) Cn ( L ^ko K ) ) )
58	19, 41	cnmpt2nd 21472	. . 3 |- ( ph -> ( w e. X , k e. Y |-> k ) e. ( ( J tX K ) Cn K ) )
59		eqid 2622	. . . . 5 |- ( K Cn L ) = ( K Cn L )
60		toponuni 20719	. . . . . 6 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> Y = U. K )
61	41, 60	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> Y = U. K )
62		mpt2eq12 6715	. . . . 5 |- ( ( ( K Cn L ) = ( K Cn L ) /\ Y = U. K ) -> ( f e. ( K Cn L ) , z e. Y |-> ( f ` z ) ) = ( f e. ( K Cn L ) , z e. U. K |-> ( f ` z ) ) )
63	59, 61, 62	sylancr 695	. . . 4 |- ( ph -> ( f e. ( K Cn L ) , z e. Y |-> ( f ` z ) ) = ( f e. ( K Cn L ) , z e. U. K |-> ( f ` z ) ) )
64		eqid 2622	. . . . . 6 |- U. K = U. K
65		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( f e. ( K Cn L ) , z e. U. K |-> ( f ` z ) ) = ( f e. ( K Cn L ) , z e. U. K |-> ( f ` z ) )
66	64, 65	xkofvcn 21487	. . . . 5 |- ( ( K e. 𝑛Locally Comp /\ L e. Top ) -> ( f e. ( K Cn L ) , z e. U. K |-> ( f ` z ) ) e. ( ( ( L ^ko K ) tX K ) Cn L ) )
67	20, 25, 66	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( f e. ( K Cn L ) , z e. U. K |-> ( f ` z ) ) e. ( ( ( L ^ko K ) tX K ) Cn L ) )
68	63, 67	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ph -> ( f e. ( K Cn L ) , z e. Y |-> ( f ` z ) ) e. ( ( ( L ^ko K ) tX K ) Cn L ) )
69		fveq1 6190	. . . 4 |- ( f = ( ( x e. X |-> ( y e. Y |-> A ) ) ` w ) -> ( f ` z ) = ( ( ( x e. X |-> ( y e. Y |-> A ) ) ` w ) ` z ) )
70		fveq2 6191	. . . 4 |- ( z = k -> ( ( ( x e. X |-> ( y e. Y |-> A ) ) ` w ) ` z ) = ( ( ( x e. X |-> ( y e. Y |-> A ) ) ` w ) ` k ) )
71	69, 70	sylan9eq 2676	. . 3 |- ( ( f = ( ( x e. X |-> ( y e. Y |-> A ) ) ` w ) /\ z = k ) -> ( f ` z ) = ( ( ( x e. X |-> ( y e. Y |-> A ) ) ` w ) ` k ) )
72	19, 41, 57, 58, 28, 41, 68, 71	cnmpt22 21477	. 2 |- ( ph -> ( w e. X , k e. Y |-> ( ( ( x e. X |-> ( y e. Y |-> A ) ) ` w ) ` k ) ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )
73	55, 72	eqeltrrd 2702	1 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   Compccmp 21189  𝑛Locally cnlly 21268   tX ctx 21363   ^ko cxko 21364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-ntr 20824  df-nei 20902  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-nlly 21270  df-tx 21365  df-xko 21366

This theorem is referenced by:  xkocnv  21617