Theorem xkocnv 21617

Description: The inverse of the "currying" function F is the uncurrying function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xkohmeo.x	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
xkohmeo.y	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
xkohmeo.f	|- F = ( f e. ( ( J tX K ) Cn L ) |-> ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ) )
xkohmeo.j	|- ( ph -> J e. 𝑛Locally Comp )
xkohmeo.k	|- ( ph -> K e. 𝑛Locally Comp )
xkohmeo.l	|- ( ph -> L e. Top )

Assertion

Ref	Expression
xkocnv	|- ( ph -> `' F = ( g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) |-> ( x e. X , y e. Y |-> ( ( g ` x ) ` y ) ) ) )

Distinct variable groups:   f, g, x, y, J   f, K, g, x, y   ph, f, g, x, y   f, L, g, x, y   f, X, g, x, y   f, Y, g, x, y   f, F, g, x, y

Proof of Theorem xkocnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 796	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. ( ( J tX K ) Cn L ) /\ g = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ) ) ) -> g = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ) )
2		xkohmeo.x	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
3	2	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. ( ( J tX K ) Cn L ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
4		xkohmeo.y	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
5	4	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. ( ( J tX K ) Cn L ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
6		txtopon 21394	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
7	2, 4, 6	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
8	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. ( ( J tX K ) Cn L ) ) -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
9		xkohmeo.l	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> L e. Top )
10		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U. L = U. L
11	10	toptopon 20722	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( L e. Top <-> L e. (TopOn ` U. L ) )
12	9, 11	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> L e. (TopOn ` U. L ) )
13	12	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. ( ( J tX K ) Cn L ) ) -> L e. (TopOn ` U. L ) )
14		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. ( ( J tX K ) Cn L ) ) -> f e. ( ( J tX K ) Cn L ) )
15		cnf2 21053	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) /\ L e. (TopOn ` U. L ) /\ f e. ( ( J tX K ) Cn L ) ) -> f : ( X X. Y ) --> U. L )
16	8, 13, 14, 15	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f e. ( ( J tX K ) Cn L ) ) -> f : ( X X. Y ) --> U. L )
17		ffn 6045	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : ( X X. Y ) --> U. L -> f Fn ( X X. Y ) )
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ f e. ( ( J tX K ) Cn L ) ) -> f Fn ( X X. Y ) )
19		fnov 6768	. . . . . . . . . 10 |- ( f Fn ( X X. Y ) <-> f = ( x e. X , y e. Y |-> ( x f y ) ) )
20	18, 19	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f e. ( ( J tX K ) Cn L ) ) -> f = ( x e. X , y e. Y |-> ( x f y ) ) )
21	20, 14	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. ( ( J tX K ) Cn L ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> ( x f y ) ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )
22	3, 5, 21	cnmpt2k 21491	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. ( ( J tX K ) Cn L ) ) -> ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ) e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) )
23	22	adantrr 753	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. ( ( J tX K ) Cn L ) /\ g = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ) ) ) -> ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ) e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) )
24	1, 23	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. ( ( J tX K ) Cn L ) /\ g = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ) ) ) -> g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) )
25	20	adantrr 753	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. ( ( J tX K ) Cn L ) /\ g = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ) ) ) -> f = ( x e. X , y e. Y |-> ( x f y ) ) )
26		eqid 2622	. . . . . . 7 |- X = X
27		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ x ph
28		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ x f e. ( ( J tX K ) Cn L )
29		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) )
30	29	nfeq2 2780	. . . . . . . . . 10 |- F/ x g = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) )
31	28, 30	nfan 1828	. . . . . . . . 9 |- F/ x ( f e. ( ( J tX K ) Cn L ) /\ g = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ) )
32	27, 31	nfan 1828	. . . . . . . 8 |- F/ x ( ph /\ ( f e. ( ( J tX K ) Cn L ) /\ g = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ) ) )
33		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ y ph
34		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ y f e. ( ( J tX K ) Cn L )
35		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ y X
36		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ y ( y e. Y |-> ( x f y ) )
37	35, 36	nfmpt 4746	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ y ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) )
38	37	nfeq2 2780	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ y g = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) )
39	34, 38	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ y ( f e. ( ( J tX K ) Cn L ) /\ g = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ) )
40	33, 39	nfan 1828	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y ( ph /\ ( f e. ( ( J tX K ) Cn L ) /\ g = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ) ) )
41		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y x e. X
42	40, 41	nfan 1828	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y ( ( ph /\ ( f e. ( ( J tX K ) Cn L ) /\ g = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ) ) ) /\ x e. X )
43		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( ( J tX K ) Cn L ) /\ g = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ) ) ) /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> g = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ) )
44	43	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( ( J tX K ) Cn L ) /\ g = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ) ) ) /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> ( g ` x ) = ( ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ) ` x ) )
45		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( ( J tX K ) Cn L ) /\ g = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ) ) ) /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> x e. X )
46		toponmax 20730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> Y e. K )
47	4, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> Y e. K )
48	47	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( ( J tX K ) Cn L ) /\ g = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ) ) ) /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> Y e. K )
49		mptexg 6484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Y e. K -> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) e. _V )
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( ( J tX K ) Cn L ) /\ g = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ) ) ) /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) e. _V )
51		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ) = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) )
52	51	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. X /\ ( y e. Y |-> ( x f y ) ) e. _V ) -> ( ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ) ` x ) = ( y e. Y |-> ( x f y ) ) )
53	45, 50, 52	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( ( J tX K ) Cn L ) /\ g = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ) ) ) /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> ( ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ) ` x ) = ( y e. Y |-> ( x f y ) ) )
54	44, 53	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( ( J tX K ) Cn L ) /\ g = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ) ) ) /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> ( g ` x ) = ( y e. Y |-> ( x f y ) ) )
55	54	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( ( J tX K ) Cn L ) /\ g = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ) ) ) /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> ( ( g ` x ) ` y ) = ( ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ` y ) )
56		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( ( J tX K ) Cn L ) /\ g = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ) ) ) /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> y e. Y )
57		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x f y ) e. _V
58		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. Y |-> ( x f y ) ) = ( y e. Y |-> ( x f y ) )
59	58	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. Y /\ ( x f y ) e. _V ) -> ( ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ` y ) = ( x f y ) )
60	56, 57, 59	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( ( J tX K ) Cn L ) /\ g = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ) ) ) /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> ( ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ` y ) = ( x f y ) )
61	55, 60	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( ( J tX K ) Cn L ) /\ g = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ) ) ) /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> ( ( g ` x ) ` y ) = ( x f y ) )
62	61	expr 643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( ( J tX K ) Cn L ) /\ g = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ) ) ) /\ x e. X ) -> ( y e. Y -> ( ( g ` x ) ` y ) = ( x f y ) ) )
63	42, 62	ralrimi 2957	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( ( J tX K ) Cn L ) /\ g = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ) ) ) /\ x e. X ) -> A. y e. Y ( ( g ` x ) ` y ) = ( x f y ) )
64		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- Y = Y
65	63, 64	jctil 560	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f e. ( ( J tX K ) Cn L ) /\ g = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ) ) ) /\ x e. X ) -> ( Y = Y /\ A. y e. Y ( ( g ` x ) ` y ) = ( x f y ) ) )
66	65	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. ( ( J tX K ) Cn L ) /\ g = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ) ) ) -> ( x e. X -> ( Y = Y /\ A. y e. Y ( ( g ` x ) ` y ) = ( x f y ) ) ) )
67	32, 66	ralrimi 2957	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. ( ( J tX K ) Cn L ) /\ g = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ) ) ) -> A. x e. X ( Y = Y /\ A. y e. Y ( ( g ` x ) ` y ) = ( x f y ) ) )
68		mpt2eq123 6714	. . . . . . 7 |- ( ( X = X /\ A. x e. X ( Y = Y /\ A. y e. Y ( ( g ` x ) ` y ) = ( x f y ) ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> ( ( g ` x ) ` y ) ) = ( x e. X , y e. Y |-> ( x f y ) ) )
69	26, 67, 68	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. ( ( J tX K ) Cn L ) /\ g = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ) ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> ( ( g ` x ) ` y ) ) = ( x e. X , y e. Y |-> ( x f y ) ) )
70	25, 69	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. ( ( J tX K ) Cn L ) /\ g = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ) ) ) -> f = ( x e. X , y e. Y |-> ( ( g ` x ) ` y ) ) )
71	24, 70	jca 554	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. ( ( J tX K ) Cn L ) /\ g = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ) ) ) -> ( g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) /\ f = ( x e. X , y e. Y |-> ( ( g ` x ) ` y ) ) ) )
72		simprr 796	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) /\ f = ( x e. X , y e. Y |-> ( ( g ` x ) ` y ) ) ) ) -> f = ( x e. X , y e. Y |-> ( ( g ` x ) ` y ) ) )
73	2	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
74	4	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
75	12	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) ) -> L e. (TopOn ` U. L ) )
76		xkohmeo.k	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. 𝑛Locally Comp )
77	76	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) ) -> K e. 𝑛Locally Comp )
78		nllytop 21276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. 𝑛Locally Comp -> K e. Top )
79	77, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) ) -> K e. Top )
80	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) ) -> L e. Top )
81		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( L ^ko K ) = ( L ^ko K )
82	81	xkotopon 21403	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. Top /\ L e. Top ) -> ( L ^ko K ) e. (TopOn ` ( K Cn L ) ) )
83	79, 80, 82	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) ) -> ( L ^ko K ) e. (TopOn ` ( K Cn L ) ) )
84		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) ) -> g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) )
85		cnf2 21053	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( L ^ko K ) e. (TopOn ` ( K Cn L ) ) /\ g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) ) -> g : X --> ( K Cn L ) )
86	73, 83, 84, 85	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) ) -> g : X --> ( K Cn L ) )
87	86	feqmptd 6249	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) ) -> g = ( x e. X |-> ( g ` x ) ) )
88	4	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) ) /\ x e. X ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
89	12	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) ) /\ x e. X ) -> L e. (TopOn ` U. L ) )
90	86	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) ) /\ x e. X ) -> ( g ` x ) e. ( K Cn L ) )
91		cnf2 21053	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ L e. (TopOn ` U. L ) /\ ( g ` x ) e. ( K Cn L ) ) -> ( g ` x ) : Y --> U. L )
92	88, 89, 90, 91	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) ) /\ x e. X ) -> ( g ` x ) : Y --> U. L )
93	92	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) ) /\ x e. X ) -> ( g ` x ) = ( y e. Y |-> ( ( g ` x ) ` y ) ) )
94	93	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) ) -> ( x e. X |-> ( g ` x ) ) = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( ( g ` x ) ` y ) ) ) )
95	87, 94	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) ) -> g = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( ( g ` x ) ` y ) ) ) )
96	95, 84	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) ) -> ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( ( g ` x ) ` y ) ) ) e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) )
97	73, 74, 75, 77, 96	cnmptk2 21489	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> ( ( g ` x ) ` y ) ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )
98	97	adantrr 753	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) /\ f = ( x e. X , y e. Y |-> ( ( g ` x ) ` y ) ) ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> ( ( g ` x ) ` y ) ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) )
99	72, 98	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) /\ f = ( x e. X , y e. Y |-> ( ( g ` x ) ` y ) ) ) ) -> f e. ( ( J tX K ) Cn L ) )
100	95	adantrr 753	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) /\ f = ( x e. X , y e. Y |-> ( ( g ` x ) ` y ) ) ) ) -> g = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( ( g ` x ) ` y ) ) ) )
101		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ x g e. ( J Cn ( L ^ko K ) )
102		nfmpt21 6722	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( x e. X , y e. Y |-> ( ( g ` x ) ` y ) )
103	102	nfeq2 2780	. . . . . . . . 9 |- F/ x f = ( x e. X , y e. Y |-> ( ( g ` x ) ` y ) )
104	101, 103	nfan 1828	. . . . . . . 8 |- F/ x ( g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) /\ f = ( x e. X , y e. Y |-> ( ( g ` x ) ` y ) ) )
105	27, 104	nfan 1828	. . . . . . 7 |- F/ x ( ph /\ ( g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) /\ f = ( x e. X , y e. Y |-> ( ( g ` x ) ` y ) ) ) )
106		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y g e. ( J Cn ( L ^ko K ) )
107		nfmpt22 6723	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ y ( x e. X , y e. Y |-> ( ( g ` x ) ` y ) )
108	107	nfeq2 2780	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y f = ( x e. X , y e. Y |-> ( ( g ` x ) ` y ) )
109	106, 108	nfan 1828	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y ( g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) /\ f = ( x e. X , y e. Y |-> ( ( g ` x ) ` y ) ) )
110	33, 109	nfan 1828	. . . . . . . . . 10 |- F/ y ( ph /\ ( g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) /\ f = ( x e. X , y e. Y |-> ( ( g ` x ) ` y ) ) ) )
111	110, 41	nfan 1828	. . . . . . . . 9 |- F/ y ( ( ph /\ ( g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) /\ f = ( x e. X , y e. Y |-> ( ( g ` x ) ` y ) ) ) ) /\ x e. X )
112	72	oveqd 6667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) /\ f = ( x e. X , y e. Y |-> ( ( g ` x ) ` y ) ) ) ) -> ( x f y ) = ( x ( x e. X , y e. Y |-> ( ( g ` x ) ` y ) ) y ) )
113		fvex 6201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g ` x ) ` y ) e. _V
114		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. X , y e. Y |-> ( ( g ` x ) ` y ) ) = ( x e. X , y e. Y |-> ( ( g ` x ) ` y ) )
115	114	ovmpt4g 6783	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. X /\ y e. Y /\ ( ( g ` x ) ` y ) e. _V ) -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> ( ( g ` x ) ` y ) ) y ) = ( ( g ` x ) ` y ) )
116	113, 115	mp3an3 1413	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> ( ( g ` x ) ` y ) ) y ) = ( ( g ` x ) ` y ) )
117	112, 116	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) /\ f = ( x e. X , y e. Y |-> ( ( g ` x ) ` y ) ) ) ) /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> ( x f y ) = ( ( g ` x ) ` y ) )
118	117	expr 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) /\ f = ( x e. X , y e. Y |-> ( ( g ` x ) ` y ) ) ) ) /\ x e. X ) -> ( y e. Y -> ( x f y ) = ( ( g ` x ) ` y ) ) )
119	111, 118	ralrimi 2957	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) /\ f = ( x e. X , y e. Y |-> ( ( g ` x ) ` y ) ) ) ) /\ x e. X ) -> A. y e. Y ( x f y ) = ( ( g ` x ) ` y ) )
120		mpteq12 4736	. . . . . . . 8 |- ( ( Y = Y /\ A. y e. Y ( x f y ) = ( ( g ` x ) ` y ) ) -> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) = ( y e. Y |-> ( ( g ` x ) ` y ) ) )
121	64, 119, 120	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) /\ f = ( x e. X , y e. Y |-> ( ( g ` x ) ` y ) ) ) ) /\ x e. X ) -> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) = ( y e. Y |-> ( ( g ` x ) ` y ) ) )
122	105, 121	mpteq2da 4743	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) /\ f = ( x e. X , y e. Y |-> ( ( g ` x ) ` y ) ) ) ) -> ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ) = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( ( g ` x ) ` y ) ) ) )
123	100, 122	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) /\ f = ( x e. X , y e. Y |-> ( ( g ` x ) ` y ) ) ) ) -> g = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ) )
124	99, 123	jca 554	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) /\ f = ( x e. X , y e. Y |-> ( ( g ` x ) ` y ) ) ) ) -> ( f e. ( ( J tX K ) Cn L ) /\ g = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ) ) )
125	71, 124	impbida 877	. . 3 |- ( ph -> ( ( f e. ( ( J tX K ) Cn L ) /\ g = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ) ) <-> ( g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) /\ f = ( x e. X , y e. Y |-> ( ( g ` x ) ` y ) ) ) ) )
126	125	opabbidv 4716	. 2 |- ( ph -> { <. g , f >. | ( f e. ( ( J tX K ) Cn L ) /\ g = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ) ) } = { <. g , f >. | ( g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) /\ f = ( x e. X , y e. Y |-> ( ( g ` x ) ` y ) ) ) } )
127		xkohmeo.f	. . . . 5 |- F = ( f e. ( ( J tX K ) Cn L ) |-> ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ) )
128		df-mpt 4730	. . . . 5 |- ( f e. ( ( J tX K ) Cn L ) |-> ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ) ) = { <. f , g >. | ( f e. ( ( J tX K ) Cn L ) /\ g = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ) ) }
129	127, 128	eqtri 2644	. . . 4 |- F = { <. f , g >. | ( f e. ( ( J tX K ) Cn L ) /\ g = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ) ) }
130	129	cnveqi 5297	. . 3 |- `' F = `' { <. f , g >. | ( f e. ( ( J tX K ) Cn L ) /\ g = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ) ) }
131		cnvopab 5533	. . 3 |- `' { <. f , g >. | ( f e. ( ( J tX K ) Cn L ) /\ g = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ) ) } = { <. g , f >. | ( f e. ( ( J tX K ) Cn L ) /\ g = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ) ) }
132	130, 131	eqtri 2644	. 2 |- `' F = { <. g , f >. | ( f e. ( ( J tX K ) Cn L ) /\ g = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x f y ) ) ) ) }
133		df-mpt 4730	. 2 |- ( g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) |-> ( x e. X , y e. Y |-> ( ( g ` x ) ` y ) ) ) = { <. g , f >. | ( g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) /\ f = ( x e. X , y e. Y |-> ( ( g ` x ) ` y ) ) ) }
134	126, 132, 133	3eqtr4g 2681	1 |- ( ph -> `' F = ( g e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) |-> ( x e. X , y e. Y |-> ( ( g ` x ) ` y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   U.cuni 4436   {copab 4712   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   Compccmp 21189  𝑛Locally cnlly 21268   tX ctx 21363   ^ko cxko 21364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-ntr 20824  df-nei 20902  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-nlly 21270  df-tx 21365  df-xko 21366

This theorem is referenced by:  xkohmeo  21618