Theorem xkococn 21463

Description: Continuity of the composition operation as a function on continuous function spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xkococn.1	|- F = ( f e. ( S Cn T ) , g e. ( R Cn S ) |-> ( f o. g ) )

Assertion

Ref	Expression
xkococn	|- ( ( R e. Top /\ S e. 𝑛Locally Comp /\ T e. Top ) -> F e. ( ( ( T ^ko S ) tX ( S ^ko R ) ) Cn ( T ^ko R ) ) )

Distinct variable groups:   f, g, R   S, f, g   T, f, g

Allowed substitution hints:   F( f, g)

Proof of Theorem xkococn

Dummy variables k a v x y z b h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 796	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. 𝑛Locally Comp /\ T e. Top ) /\ ( f e. ( S Cn T ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> g e. ( R Cn S ) )
2		simprl 794	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. 𝑛Locally Comp /\ T e. Top ) /\ ( f e. ( S Cn T ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> f e. ( S Cn T ) )
3		cnco 21070	. . . . 5 |- ( ( g e. ( R Cn S ) /\ f e. ( S Cn T ) ) -> ( f o. g ) e. ( R Cn T ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. 𝑛Locally Comp /\ T e. Top ) /\ ( f e. ( S Cn T ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> ( f o. g ) e. ( R Cn T ) )
5	4	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. 𝑛Locally Comp /\ T e. Top ) -> A. f e. ( S Cn T ) A. g e. ( R Cn S ) ( f o. g ) e. ( R Cn T ) )
6		xkococn.1	. . . 4 |- F = ( f e. ( S Cn T ) , g e. ( R Cn S ) |-> ( f o. g ) )
7	6	fmpt2 7237	. . 3 |- ( A. f e. ( S Cn T ) A. g e. ( R Cn S ) ( f o. g ) e. ( R Cn T ) <-> F : ( ( S Cn T ) X. ( R Cn S ) ) --> ( R Cn T ) )
8	5, 7	sylib 208	. 2 |- ( ( R e. Top /\ S e. 𝑛Locally Comp /\ T e. Top ) -> F : ( ( S Cn T ) X. ( R Cn S ) ) --> ( R Cn T ) )
9		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( k e. { y e. ~P U. R | ( R ↾t y ) e. Comp } , v e. T |-> { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) = ( k e. { y e. ~P U. R | ( R ↾t y ) e. Comp } , v e. T |-> { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } )
10	9	rnmpt2 6770	. . . . . 6 |- ran ( k e. { y e. ~P U. R | ( R ↾t y ) e. Comp } , v e. T |-> { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) = { x | E. k e. { y e. ~P U. R | ( R ↾t y ) e. Comp } E. v e. T x = { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } }
11	10	eleq2i 2693	. . . . 5 |- ( x e. ran ( k e. { y e. ~P U. R | ( R ↾t y ) e. Comp } , v e. T |-> { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) <-> x e. { x | E. k e. { y e. ~P U. R | ( R ↾t y ) e. Comp } E. v e. T x = { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } } )
12		abid 2610	. . . . 5 |- ( x e. { x | E. k e. { y e. ~P U. R | ( R ↾t y ) e. Comp } E. v e. T x = { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } } <-> E. k e. { y e. ~P U. R | ( R ↾t y ) e. Comp } E. v e. T x = { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } )
13		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( y = k -> ( R ↾t y ) = ( R ↾t k ) )
14	13	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( y = k -> ( ( R ↾t y ) e. Comp <-> ( R ↾t k ) e. Comp ) )
15	14	rexrab 3370	. . . . 5 |- ( E. k e. { y e. ~P U. R | ( R ↾t y ) e. Comp } E. v e. T x = { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } <-> E. k e. ~P U. R ( ( R ↾t k ) e. Comp /\ E. v e. T x = { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) )
16	11, 12, 15	3bitri 286	. . . 4 |- ( x e. ran ( k e. { y e. ~P U. R | ( R ↾t y ) e. Comp } , v e. T |-> { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) <-> E. k e. ~P U. R ( ( R ↾t k ) e. Comp /\ E. v e. T x = { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) )
17	8	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. 𝑛Locally Comp /\ T e. Top ) /\ ( k e. ~P U. R /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) ) /\ v e. T ) -> F : ( ( S Cn T ) X. ( R Cn S ) ) --> ( R Cn T ) )
18		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F : ( ( S Cn T ) X. ( R Cn S ) ) --> ( R Cn T ) -> F Fn ( ( S Cn T ) X. ( R Cn S ) ) )
19		elpreima 6337	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F Fn ( ( S Cn T ) X. ( R Cn S ) ) -> ( y e. ( `' F " { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) <-> ( y e. ( ( S Cn T ) X. ( R Cn S ) ) /\ ( F ` y ) e. { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) ) )
20	17, 18, 19	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. 𝑛Locally Comp /\ T e. Top ) /\ ( k e. ~P U. R /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) ) /\ v e. T ) -> ( y e. ( `' F " { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) <-> ( y e. ( ( S Cn T ) X. ( R Cn S ) ) /\ ( F ` y ) e. { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) ) )
21		coeq1 5279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f = a -> ( f o. g ) = ( a o. g ) )
22		coeq2 5280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( g = b -> ( a o. g ) = ( a o. b ) )
23		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- a e. _V
24		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- b e. _V
25	23, 24	coex 7118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a o. b ) e. _V
26	21, 22, 6, 25	ovmpt2 6796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( a e. ( S Cn T ) /\ b e. ( R Cn S ) ) -> ( a F b ) = ( a o. b ) )
27	26	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. 𝑛Locally Comp /\ T e. Top ) /\ ( k e. ~P U. R /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) ) /\ v e. T ) /\ ( a e. ( S Cn T ) /\ b e. ( R Cn S ) ) ) -> ( a F b ) = ( a o. b ) )
28	27	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. 𝑛Locally Comp /\ T e. Top ) /\ ( k e. ~P U. R /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) ) /\ v e. T ) /\ ( a e. ( S Cn T ) /\ b e. ( R Cn S ) ) ) -> ( ( a F b ) e. { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } <-> ( a o. b ) e. { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) )
29		imaeq1 5461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( h = ( a o. b ) -> ( h " k ) = ( ( a o. b ) " k ) )
30	29	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( h = ( a o. b ) -> ( ( h " k ) C_ v <-> ( ( a o. b ) " k ) C_ v ) )
31	30	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( a o. b ) e. { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } <-> ( ( a o. b ) e. ( R Cn T ) /\ ( ( a o. b ) " k ) C_ v ) )
32	31	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( a o. b ) e. { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } -> ( ( a o. b ) " k ) C_ v )
33		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( R e. Top /\ S e. 𝑛Locally Comp /\ T e. Top ) -> S e. 𝑛Locally Comp )
34	33	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. 𝑛Locally Comp /\ T e. Top ) /\ ( k e. ~P U. R /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) ) /\ v e. T ) /\ ( ( a e. ( S Cn T ) /\ b e. ( R Cn S ) ) /\ ( ( a o. b ) " k ) C_ v ) ) -> S e. 𝑛Locally Comp )
35		elpwi 4168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. ~P U. R -> k C_ U. R )
36	35	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. 𝑛Locally Comp /\ T e. Top ) /\ ( k e. ~P U. R /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) ) -> k C_ U. R )
37	36	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. 𝑛Locally Comp /\ T e. Top ) /\ ( k e. ~P U. R /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) ) /\ v e. T ) /\ ( ( a e. ( S Cn T ) /\ b e. ( R Cn S ) ) /\ ( ( a o. b ) " k ) C_ v ) ) -> k C_ U. R )
38		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. 𝑛Locally Comp /\ T e. Top ) /\ ( k e. ~P U. R /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( R ↾t k ) e. Comp )
39	38	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. 𝑛Locally Comp /\ T e. Top ) /\ ( k e. ~P U. R /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) ) /\ v e. T ) /\ ( ( a e. ( S Cn T ) /\ b e. ( R Cn S ) ) /\ ( ( a o. b ) " k ) C_ v ) ) -> ( R ↾t k ) e. Comp )
40		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. 𝑛Locally Comp /\ T e. Top ) /\ ( k e. ~P U. R /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) ) /\ v e. T ) /\ ( ( a e. ( S Cn T ) /\ b e. ( R Cn S ) ) /\ ( ( a o. b ) " k ) C_ v ) ) -> v e. T )
41		simprll 802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. 𝑛Locally Comp /\ T e. Top ) /\ ( k e. ~P U. R /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) ) /\ v e. T ) /\ ( ( a e. ( S Cn T ) /\ b e. ( R Cn S ) ) /\ ( ( a o. b ) " k ) C_ v ) ) -> a e. ( S Cn T ) )
42		simprlr 803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. 𝑛Locally Comp /\ T e. Top ) /\ ( k e. ~P U. R /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) ) /\ v e. T ) /\ ( ( a e. ( S Cn T ) /\ b e. ( R Cn S ) ) /\ ( ( a o. b ) " k ) C_ v ) ) -> b e. ( R Cn S ) )
43		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. 𝑛Locally Comp /\ T e. Top ) /\ ( k e. ~P U. R /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) ) /\ v e. T ) /\ ( ( a e. ( S Cn T ) /\ b e. ( R Cn S ) ) /\ ( ( a o. b ) " k ) C_ v ) ) -> ( ( a o. b ) " k ) C_ v )
44	6, 34, 37, 39, 40, 41, 42, 43	xkococnlem 21462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. 𝑛Locally Comp /\ T e. Top ) /\ ( k e. ~P U. R /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) ) /\ v e. T ) /\ ( ( a e. ( S Cn T ) /\ b e. ( R Cn S ) ) /\ ( ( a o. b ) " k ) C_ v ) ) -> E. z e. ( ( T ^ko S ) tX ( S ^ko R ) ) ( <. a , b >. e. z /\ z C_ ( `' F " { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) ) )
45	44	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. 𝑛Locally Comp /\ T e. Top ) /\ ( k e. ~P U. R /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) ) /\ v e. T ) /\ ( a e. ( S Cn T ) /\ b e. ( R Cn S ) ) ) -> ( ( ( a o. b ) " k ) C_ v -> E. z e. ( ( T ^ko S ) tX ( S ^ko R ) ) ( <. a , b >. e. z /\ z C_ ( `' F " { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) ) ) )
46	32, 45	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. 𝑛Locally Comp /\ T e. Top ) /\ ( k e. ~P U. R /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) ) /\ v e. T ) /\ ( a e. ( S Cn T ) /\ b e. ( R Cn S ) ) ) -> ( ( a o. b ) e. { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } -> E. z e. ( ( T ^ko S ) tX ( S ^ko R ) ) ( <. a , b >. e. z /\ z C_ ( `' F " { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) ) ) )
47	28, 46	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. 𝑛Locally Comp /\ T e. Top ) /\ ( k e. ~P U. R /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) ) /\ v e. T ) /\ ( a e. ( S Cn T ) /\ b e. ( R Cn S ) ) ) -> ( ( a F b ) e. { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } -> E. z e. ( ( T ^ko S ) tX ( S ^ko R ) ) ( <. a , b >. e. z /\ z C_ ( `' F " { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) ) ) )
48	47	ralrimivva 2971	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. 𝑛Locally Comp /\ T e. Top ) /\ ( k e. ~P U. R /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) ) /\ v e. T ) -> A. a e. ( S Cn T ) A. b e. ( R Cn S ) ( ( a F b ) e. { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } -> E. z e. ( ( T ^ko S ) tX ( S ^ko R ) ) ( <. a , b >. e. z /\ z C_ ( `' F " { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) ) ) )
49		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = <. a , b >. -> ( F ` y ) = ( F ` <. a , b >. ) )
50		df-ov 6653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a F b ) = ( F ` <. a , b >. )
51	49, 50	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = <. a , b >. -> ( F ` y ) = ( a F b ) )
52	51	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = <. a , b >. -> ( ( F ` y ) e. { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } <-> ( a F b ) e. { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) )
53		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = <. a , b >. -> ( y e. z <-> <. a , b >. e. z ) )
54	53	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = <. a , b >. -> ( ( y e. z /\ z C_ ( `' F " { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) ) <-> ( <. a , b >. e. z /\ z C_ ( `' F " { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) ) ) )
55	54	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = <. a , b >. -> ( E. z e. ( ( T ^ko S ) tX ( S ^ko R ) ) ( y e. z /\ z C_ ( `' F " { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) ) <-> E. z e. ( ( T ^ko S ) tX ( S ^ko R ) ) ( <. a , b >. e. z /\ z C_ ( `' F " { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) ) ) )
56	52, 55	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = <. a , b >. -> ( ( ( F ` y ) e. { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } -> E. z e. ( ( T ^ko S ) tX ( S ^ko R ) ) ( y e. z /\ z C_ ( `' F " { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) ) ) <-> ( ( a F b ) e. { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } -> E. z e. ( ( T ^ko S ) tX ( S ^ko R ) ) ( <. a , b >. e. z /\ z C_ ( `' F " { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) ) ) ) )
57	56	ralxp 5263	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. y e. ( ( S Cn T ) X. ( R Cn S ) ) ( ( F ` y ) e. { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } -> E. z e. ( ( T ^ko S ) tX ( S ^ko R ) ) ( y e. z /\ z C_ ( `' F " { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) ) ) <-> A. a e. ( S Cn T ) A. b e. ( R Cn S ) ( ( a F b ) e. { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } -> E. z e. ( ( T ^ko S ) tX ( S ^ko R ) ) ( <. a , b >. e. z /\ z C_ ( `' F " { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) ) ) )
58	48, 57	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. 𝑛Locally Comp /\ T e. Top ) /\ ( k e. ~P U. R /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) ) /\ v e. T ) -> A. y e. ( ( S Cn T ) X. ( R Cn S ) ) ( ( F ` y ) e. { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } -> E. z e. ( ( T ^ko S ) tX ( S ^ko R ) ) ( y e. z /\ z C_ ( `' F " { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) ) ) )
59	58	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. 𝑛Locally Comp /\ T e. Top ) /\ ( k e. ~P U. R /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) ) /\ v e. T ) /\ y e. ( ( S Cn T ) X. ( R Cn S ) ) ) -> ( ( F ` y ) e. { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } -> E. z e. ( ( T ^ko S ) tX ( S ^ko R ) ) ( y e. z /\ z C_ ( `' F " { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) ) ) )
60	59	expimpd 629	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. 𝑛Locally Comp /\ T e. Top ) /\ ( k e. ~P U. R /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) ) /\ v e. T ) -> ( ( y e. ( ( S Cn T ) X. ( R Cn S ) ) /\ ( F ` y ) e. { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) -> E. z e. ( ( T ^ko S ) tX ( S ^ko R ) ) ( y e. z /\ z C_ ( `' F " { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) ) ) )
61	20, 60	sylbid 230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. 𝑛Locally Comp /\ T e. Top ) /\ ( k e. ~P U. R /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) ) /\ v e. T ) -> ( y e. ( `' F " { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) -> E. z e. ( ( T ^ko S ) tX ( S ^ko R ) ) ( y e. z /\ z C_ ( `' F " { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) ) ) )
62	61	ralrimiv 2965	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. 𝑛Locally Comp /\ T e. Top ) /\ ( k e. ~P U. R /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) ) /\ v e. T ) -> A. y e. ( `' F " { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) E. z e. ( ( T ^ko S ) tX ( S ^ko R ) ) ( y e. z /\ z C_ ( `' F " { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) ) )
63		nllytop 21276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( S e. 𝑛Locally Comp -> S e. Top )
64	63	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. Top /\ S e. 𝑛Locally Comp /\ T e. Top ) -> S e. Top )
65		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. Top /\ S e. 𝑛Locally Comp /\ T e. Top ) -> T e. Top )
66		xkotop 21391	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S e. Top /\ T e. Top ) -> ( T ^ko S ) e. Top )
67	64, 65, 66	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. Top /\ S e. 𝑛Locally Comp /\ T e. Top ) -> ( T ^ko S ) e. Top )
68		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. Top /\ S e. 𝑛Locally Comp /\ T e. Top ) -> R e. Top )
69		xkotop 21391	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( S ^ko R ) e. Top )
70	68, 64, 69	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. Top /\ S e. 𝑛Locally Comp /\ T e. Top ) -> ( S ^ko R ) e. Top )
71		txtop 21372	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T ^ko S ) e. Top /\ ( S ^ko R ) e. Top ) -> ( ( T ^ko S ) tX ( S ^ko R ) ) e. Top )
72	67, 70, 71	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Top /\ S e. 𝑛Locally Comp /\ T e. Top ) -> ( ( T ^ko S ) tX ( S ^ko R ) ) e. Top )
73	72	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. 𝑛Locally Comp /\ T e. Top ) /\ ( k e. ~P U. R /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) ) /\ v e. T ) -> ( ( T ^ko S ) tX ( S ^ko R ) ) e. Top )
74		eltop2 20779	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T ^ko S ) tX ( S ^ko R ) ) e. Top -> ( ( `' F " { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) e. ( ( T ^ko S ) tX ( S ^ko R ) ) <-> A. y e. ( `' F " { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) E. z e. ( ( T ^ko S ) tX ( S ^ko R ) ) ( y e. z /\ z C_ ( `' F " { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) ) ) )
75	73, 74	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. 𝑛Locally Comp /\ T e. Top ) /\ ( k e. ~P U. R /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) ) /\ v e. T ) -> ( ( `' F " { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) e. ( ( T ^ko S ) tX ( S ^ko R ) ) <-> A. y e. ( `' F " { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) E. z e. ( ( T ^ko S ) tX ( S ^ko R ) ) ( y e. z /\ z C_ ( `' F " { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) ) ) )
76	62, 75	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. 𝑛Locally Comp /\ T e. Top ) /\ ( k e. ~P U. R /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) ) /\ v e. T ) -> ( `' F " { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) e. ( ( T ^ko S ) tX ( S ^ko R ) ) )
77		imaeq2 5462	. . . . . . . . . 10 |- ( x = { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } -> ( `' F " x ) = ( `' F " { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) )
78	77	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( x = { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } -> ( ( `' F " x ) e. ( ( T ^ko S ) tX ( S ^ko R ) ) <-> ( `' F " { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) e. ( ( T ^ko S ) tX ( S ^ko R ) ) ) )
79	76, 78	syl5ibrcom 237	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. 𝑛Locally Comp /\ T e. Top ) /\ ( k e. ~P U. R /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) ) /\ v e. T ) -> ( x = { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } -> ( `' F " x ) e. ( ( T ^ko S ) tX ( S ^ko R ) ) ) )
80	79	rexlimdva 3031	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. 𝑛Locally Comp /\ T e. Top ) /\ ( k e. ~P U. R /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( E. v e. T x = { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } -> ( `' F " x ) e. ( ( T ^ko S ) tX ( S ^ko R ) ) ) )
81	80	anassrs 680	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. 𝑛Locally Comp /\ T e. Top ) /\ k e. ~P U. R ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) -> ( E. v e. T x = { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } -> ( `' F " x ) e. ( ( T ^ko S ) tX ( S ^ko R ) ) ) )
82	81	expimpd 629	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. 𝑛Locally Comp /\ T e. Top ) /\ k e. ~P U. R ) -> ( ( ( R ↾t k ) e. Comp /\ E. v e. T x = { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) -> ( `' F " x ) e. ( ( T ^ko S ) tX ( S ^ko R ) ) ) )
83	82	rexlimdva 3031	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. 𝑛Locally Comp /\ T e. Top ) -> ( E. k e. ~P U. R ( ( R ↾t k ) e. Comp /\ E. v e. T x = { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) -> ( `' F " x ) e. ( ( T ^ko S ) tX ( S ^ko R ) ) ) )
84	16, 83	syl5bi 232	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. 𝑛Locally Comp /\ T e. Top ) -> ( x e. ran ( k e. { y e. ~P U. R | ( R ↾t y ) e. Comp } , v e. T |-> { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) -> ( `' F " x ) e. ( ( T ^ko S ) tX ( S ^ko R ) ) ) )
85	84	ralrimiv 2965	. 2 |- ( ( R e. Top /\ S e. 𝑛Locally Comp /\ T e. Top ) -> A. x e. ran ( k e. { y e. ~P U. R | ( R ↾t y ) e. Comp } , v e. T |-> { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) ( `' F " x ) e. ( ( T ^ko S ) tX ( S ^ko R ) ) )
86		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( T ^ko S ) = ( T ^ko S )
87	86	xkotopon 21403	. . . . 5 |- ( ( S e. Top /\ T e. Top ) -> ( T ^ko S ) e. (TopOn ` ( S Cn T ) ) )
88	64, 65, 87	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. 𝑛Locally Comp /\ T e. Top ) -> ( T ^ko S ) e. (TopOn ` ( S Cn T ) ) )
89		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( S ^ko R ) = ( S ^ko R )
90	89	xkotopon 21403	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( S ^ko R ) e. (TopOn ` ( R Cn S ) ) )
91	68, 64, 90	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. 𝑛Locally Comp /\ T e. Top ) -> ( S ^ko R ) e. (TopOn ` ( R Cn S ) ) )
92		txtopon 21394	. . . 4 |- ( ( ( T ^ko S ) e. (TopOn ` ( S Cn T ) ) /\ ( S ^ko R ) e. (TopOn ` ( R Cn S ) ) ) -> ( ( T ^ko S ) tX ( S ^ko R ) ) e. (TopOn ` ( ( S Cn T ) X. ( R Cn S ) ) ) )
93	88, 91, 92	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. 𝑛Locally Comp /\ T e. Top ) -> ( ( T ^ko S ) tX ( S ^ko R ) ) e. (TopOn ` ( ( S Cn T ) X. ( R Cn S ) ) ) )
94		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( R Cn T ) e. _V
95	94	pwex 4848	. . . . 5 |- ~P ( R Cn T ) e. _V
96		eqid 2622	. . . . . . 7 |- U. R = U. R
97		eqid 2622	. . . . . . 7 |- { y e. ~P U. R | ( R ↾t y ) e. Comp } = { y e. ~P U. R | ( R ↾t y ) e. Comp }
98	96, 97, 9	xkotf 21388	. . . . . 6 |- ( k e. { y e. ~P U. R | ( R ↾t y ) e. Comp } , v e. T |-> { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) : ( { y e. ~P U. R | ( R ↾t y ) e. Comp } X. T ) --> ~P ( R Cn T )
99		frn 6053	. . . . . 6 |- ( ( k e. { y e. ~P U. R | ( R ↾t y ) e. Comp } , v e. T |-> { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) : ( { y e. ~P U. R | ( R ↾t y ) e. Comp } X. T ) --> ~P ( R Cn T ) -> ran ( k e. { y e. ~P U. R | ( R ↾t y ) e. Comp } , v e. T |-> { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) C_ ~P ( R Cn T ) )
100	98, 99	ax-mp 5	. . . . 5 |- ran ( k e. { y e. ~P U. R | ( R ↾t y ) e. Comp } , v e. T |-> { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) C_ ~P ( R Cn T )
101	95, 100	ssexi 4803	. . . 4 |- ran ( k e. { y e. ~P U. R | ( R ↾t y ) e. Comp } , v e. T |-> { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) e. _V
102	101	a1i 11	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. 𝑛Locally Comp /\ T e. Top ) -> ran ( k e. { y e. ~P U. R | ( R ↾t y ) e. Comp } , v e. T |-> { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) e. _V )
103	96, 97, 9	xkoval 21390	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ T e. Top ) -> ( T ^ko R ) = ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { y e. ~P U. R | ( R ↾t y ) e. Comp } , v e. T |-> { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) ) ) )
104	103	3adant2 1080	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. 𝑛Locally Comp /\ T e. Top ) -> ( T ^ko R ) = ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { y e. ~P U. R | ( R ↾t y ) e. Comp } , v e. T |-> { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) ) ) )
105		eqid 2622	. . . . 5 |- ( T ^ko R ) = ( T ^ko R )
106	105	xkotopon 21403	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ T e. Top ) -> ( T ^ko R ) e. (TopOn ` ( R Cn T ) ) )
107	106	3adant2 1080	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. 𝑛Locally Comp /\ T e. Top ) -> ( T ^ko R ) e. (TopOn ` ( R Cn T ) ) )
108	93, 102, 104, 107	subbascn 21058	. 2 |- ( ( R e. Top /\ S e. 𝑛Locally Comp /\ T e. Top ) -> ( F e. ( ( ( T ^ko S ) tX ( S ^ko R ) ) Cn ( T ^ko R ) ) <-> ( F : ( ( S Cn T ) X. ( R Cn S ) ) --> ( R Cn T ) /\ A. x e. ran ( k e. { y e. ~P U. R | ( R ↾t y ) e. Comp } , v e. T |-> { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) ( `' F " x ) e. ( ( T ^ko S ) tX ( S ^ko R ) ) ) ) )
109	8, 85, 108	mpbir2and 957	1 |- ( ( R e. Top /\ S e. 𝑛Locally Comp /\ T e. Top ) -> F e. ( ( ( T ^ko S ) tX ( S ^ko R ) ) Cn ( T ^ko R ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   <.cop 4183   U.cuni 4436   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   ran crn 5115   "cima 5117   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ficfi 8316   ↾_t crest 16081   topGenctg 16098   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   Compccmp 21189  𝑛Locally cnlly 21268   tX ctx 21363   ^ko cxko 21364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-fin 7959  df-fi 8317  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-ntr 20824  df-nei 20902  df-cn 21031  df-cmp 21190  df-nlly 21270  df-tx 21365  df-xko 21366

This theorem is referenced by:  cnmptkk  21486  xkofvcn  21487  symgtgp  21905