Theorem cnmptkp 21483

Description: The evaluation of the inner function in a curried function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmptk1.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
cnmptk1.k	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
cnmptk1.l	|- ( ph -> L e. (TopOn ` Z ) )
cnmptkp.a	|- ( ph -> ( x e. X |-> ( y e. Y |-> A ) ) e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) )
cnmptkp.b	|- ( ph -> B e. Y )
cnmptkp.c	|- ( y = B -> A = C )

Assertion

Ref	Expression
cnmptkp	|- ( ph -> ( x e. X |-> C ) e. ( J Cn L ) )

Distinct variable groups:   x, y, J   x, K, y   x, L, y   x, Z, y   x, B   ph, x, y   x, X, y   x, Y, y   y, B   y, C

Allowed substitution hints:   A( x, y)   C( x)

Proof of Theorem cnmptkp

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmptkp.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. Y )
2	1	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. Y )
3		cnmptk1.k	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
4	3	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
5		cnmptk1.l	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> L e. (TopOn ` Z ) )
6		topontop 20718	. . . . . . . . . 10 |- ( L e. (TopOn ` Z ) -> L e. Top )
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> L e. Top )
8	7	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> L e. Top )
9		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- U. L = U. L
10	9	toptopon 20722	. . . . . . . 8 |- ( L e. Top <-> L e. (TopOn ` U. L ) )
11	8, 10	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> L e. (TopOn ` U. L ) )
12		cnmptk1.j	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
13		topontop 20718	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> K e. Top )
14	3, 13	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> K e. Top )
15		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( L ^ko K ) = ( L ^ko K )
16	15	xkotopon 21403	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. Top /\ L e. Top ) -> ( L ^ko K ) e. (TopOn ` ( K Cn L ) ) )
17	14, 7, 16	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( L ^ko K ) e. (TopOn ` ( K Cn L ) ) )
18		cnmptkp.a	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( y e. Y |-> A ) ) e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) )
19		cnf2 21053	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( L ^ko K ) e. (TopOn ` ( K Cn L ) ) /\ ( x e. X |-> ( y e. Y |-> A ) ) e. ( J Cn ( L ^ko K ) ) ) -> ( x e. X |-> ( y e. Y |-> A ) ) : X --> ( K Cn L ) )
20	12, 17, 18, 19	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( y e. Y |-> A ) ) : X --> ( K Cn L ) )
21		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. X |-> ( y e. Y |-> A ) ) = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> A ) )
22	21	fmpt 6381	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. X ( y e. Y |-> A ) e. ( K Cn L ) <-> ( x e. X |-> ( y e. Y |-> A ) ) : X --> ( K Cn L ) )
23	20, 22	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. X ( y e. Y |-> A ) e. ( K Cn L ) )
24	23	r19.21bi 2932	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( y e. Y |-> A ) e. ( K Cn L ) )
25		cnf2 21053	. . . . . . 7 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ L e. (TopOn ` U. L ) /\ ( y e. Y |-> A ) e. ( K Cn L ) ) -> ( y e. Y |-> A ) : Y --> U. L )
26	4, 11, 24, 25	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( y e. Y |-> A ) : Y --> U. L )
27		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( y e. Y |-> A ) = ( y e. Y |-> A )
28	27	fmpt 6381	. . . . . 6 |- ( A. y e. Y A e. U. L <-> ( y e. Y |-> A ) : Y --> U. L )
29	26, 28	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. y e. Y A e. U. L )
30		cnmptkp.c	. . . . . . 7 |- ( y = B -> A = C )
31	30	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( y = B -> ( A e. U. L <-> C e. U. L ) )
32	31	rspcv 3305	. . . . 5 |- ( B e. Y -> ( A. y e. Y A e. U. L -> C e. U. L ) )
33	2, 29, 32	sylc 65	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> C e. U. L )
34	30, 27	fvmptg 6280	. . . 4 |- ( ( B e. Y /\ C e. U. L ) -> ( ( y e. Y |-> A ) ` B ) = C )
35	2, 33, 34	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( y e. Y |-> A ) ` B ) = C )
36	35	mpteq2dva 4744	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( ( y e. Y |-> A ) ` B ) ) = ( x e. X |-> C ) )
37		toponuni 20719	. . . . . 6 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> Y = U. K )
38	3, 37	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> Y = U. K )
39	1, 38	eleqtrd 2703	. . . 4 |- ( ph -> B e. U. K )
40		eqid 2622	. . . . 5 |- U. K = U. K
41	40	xkopjcn 21459	. . . 4 |- ( ( K e. Top /\ L e. Top /\ B e. U. K ) -> ( w e. ( K Cn L ) |-> ( w ` B ) ) e. ( ( L ^ko K ) Cn L ) )
42	14, 7, 39, 41	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( w e. ( K Cn L ) |-> ( w ` B ) ) e. ( ( L ^ko K ) Cn L ) )
43		fveq1 6190	. . 3 |- ( w = ( y e. Y |-> A ) -> ( w ` B ) = ( ( y e. Y |-> A ) ` B ) )
44	12, 18, 17, 42, 43	cnmpt11 21466	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( ( y e. Y |-> A ) ` B ) ) e. ( J Cn L ) )
45	36, 44	eqeltrrd 2702	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> C ) e. ( J Cn L ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   ^ko cxko 21364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cmp 21190  df-xko 21366

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