Theorem xkopjcn 21459

Description: Continuity of a projection map from the space of continuous functions. (This theorem can be strengthened, to joint continuity in both f and A as a function on ( S ^ko R ) tX R, but not without stronger assumptions on R; see xkofvcn 21487.) (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xkopjcn.1	|- X = U. R

Assertion

Ref	Expression
xkopjcn	|- ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ A e. X ) -> ( f e. ( R Cn S ) |-> ( f ` A ) ) e. ( ( S ^ko R ) Cn S ) )

Distinct variable groups:   A, f   R, f   S, f   f, X

Proof of Theorem xkopjcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( S ^ko R ) = ( S ^ko R )
2	1	xkotopon 21403	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( S ^ko R ) e. (TopOn ` ( R Cn S ) ) )
3	2	3adant3 1081	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ A e. X ) -> ( S ^ko R ) e. (TopOn ` ( R Cn S ) ) )
4		xkopjcn.1	. . . . . . . . 9 |- X = U. R
5	4	topopn 20711	. . . . . . . 8 |- ( R e. Top -> X e. R )
6	5	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ A e. X ) -> X e. R )
7		fconst6g 6094	. . . . . . . 8 |- ( S e. Top -> ( X X. { S } ) : X --> Top )
8	7	3ad2ant2 1083	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ A e. X ) -> ( X X. { S } ) : X --> Top )
9		pttop 21385	. . . . . . 7 |- ( ( X e. R /\ ( X X. { S } ) : X --> Top ) -> ( Xt_ ` ( X X. { S } ) ) e. Top )
10	6, 8, 9	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ A e. X ) -> ( Xt_ ` ( X X. { S } ) ) e. Top )
11		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- U. S = U. S
12	4, 11	cnf 21050	. . . . . . . . 9 |- ( f e. ( R Cn S ) -> f : X --> U. S )
13		uniexg 6955	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. Top -> U. S e. _V )
14	13	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ A e. X ) -> U. S e. _V )
15	14, 6	elmapd 7871	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ A e. X ) -> ( f e. ( U. S ^m X ) <-> f : X --> U. S ) )
16	12, 15	syl5ibr 236	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ A e. X ) -> ( f e. ( R Cn S ) -> f e. ( U. S ^m X ) ) )
17	16	ssrdv 3609	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ A e. X ) -> ( R Cn S ) C_ ( U. S ^m X ) )
18		simp2 1062	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ A e. X ) -> S e. Top )
19		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( Xt_ ` ( X X. { S } ) ) = ( Xt_ ` ( X X. { S } ) )
20	19, 11	ptuniconst 21401	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. R /\ S e. Top ) -> ( U. S ^m X ) = U. ( Xt_ ` ( X X. { S } ) ) )
21	6, 18, 20	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ A e. X ) -> ( U. S ^m X ) = U. ( Xt_ ` ( X X. { S } ) ) )
22	17, 21	sseqtrd 3641	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ A e. X ) -> ( R Cn S ) C_ U. ( Xt_ ` ( X X. { S } ) ) )
23		eqid 2622	. . . . . . 7 |- U. ( Xt_ ` ( X X. { S } ) ) = U. ( Xt_ ` ( X X. { S } ) )
24	23	restuni 20966	. . . . . 6 |- ( ( ( Xt_ ` ( X X. { S } ) ) e. Top /\ ( R Cn S ) C_ U. ( Xt_ ` ( X X. { S } ) ) ) -> ( R Cn S ) = U. ( ( Xt_ ` ( X X. { S } ) ) ↾t ( R Cn S ) ) )
25	10, 22, 24	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ A e. X ) -> ( R Cn S ) = U. ( ( Xt_ ` ( X X. { S } ) ) ↾t ( R Cn S ) ) )
26	25	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ A e. X ) -> (TopOn ` ( R Cn S ) ) = (TopOn ` U. ( ( Xt_ ` ( X X. { S } ) ) ↾t ( R Cn S ) ) ) )
27	3, 26	eleqtrd 2703	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ A e. X ) -> ( S ^ko R ) e. (TopOn ` U. ( ( Xt_ ` ( X X. { S } ) ) ↾t ( R Cn S ) ) ) )
28	4, 19	xkoptsub 21457	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( ( Xt_ ` ( X X. { S } ) ) ↾t ( R Cn S ) ) C_ ( S ^ko R ) )
29	28	3adant3 1081	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ A e. X ) -> ( ( Xt_ ` ( X X. { S } ) ) ↾t ( R Cn S ) ) C_ ( S ^ko R ) )
30		eqid 2622	. . . 4 |- U. ( ( Xt_ ` ( X X. { S } ) ) ↾t ( R Cn S ) ) = U. ( ( Xt_ ` ( X X. { S } ) ) ↾t ( R Cn S ) )
31	30	cnss1 21080	. . 3 |- ( ( ( S ^ko R ) e. (TopOn ` U. ( ( Xt_ ` ( X X. { S } ) ) ↾t ( R Cn S ) ) ) /\ ( ( Xt_ ` ( X X. { S } ) ) ↾t ( R Cn S ) ) C_ ( S ^ko R ) ) -> ( ( ( Xt_ ` ( X X. { S } ) ) ↾t ( R Cn S ) ) Cn S ) C_ ( ( S ^ko R ) Cn S ) )
32	27, 29, 31	syl2anc 693	. 2 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ A e. X ) -> ( ( ( Xt_ ` ( X X. { S } ) ) ↾t ( R Cn S ) ) Cn S ) C_ ( ( S ^ko R ) Cn S ) )
33	22	resmptd 5452	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ A e. X ) -> ( ( f e. U. ( Xt_ ` ( X X. { S } ) ) |-> ( f ` A ) ) |` ( R Cn S ) ) = ( f e. ( R Cn S ) |-> ( f ` A ) ) )
34		simp3 1063	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ A e. X ) -> A e. X )
35	23, 19	ptpjcn 21414	. . . . . 6 |- ( ( X e. R /\ ( X X. { S } ) : X --> Top /\ A e. X ) -> ( f e. U. ( Xt_ ` ( X X. { S } ) ) |-> ( f ` A ) ) e. ( ( Xt_ ` ( X X. { S } ) ) Cn ( ( X X. { S } ) ` A ) ) )
36	6, 8, 34, 35	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ A e. X ) -> ( f e. U. ( Xt_ ` ( X X. { S } ) ) |-> ( f ` A ) ) e. ( ( Xt_ ` ( X X. { S } ) ) Cn ( ( X X. { S } ) ` A ) ) )
37		fvconst2g 6467	. . . . . . 7 |- ( ( S e. Top /\ A e. X ) -> ( ( X X. { S } ) ` A ) = S )
38	37	3adant1 1079	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ A e. X ) -> ( ( X X. { S } ) ` A ) = S )
39	38	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ A e. X ) -> ( ( Xt_ ` ( X X. { S } ) ) Cn ( ( X X. { S } ) ` A ) ) = ( ( Xt_ ` ( X X. { S } ) ) Cn S ) )
40	36, 39	eleqtrd 2703	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ A e. X ) -> ( f e. U. ( Xt_ ` ( X X. { S } ) ) |-> ( f ` A ) ) e. ( ( Xt_ ` ( X X. { S } ) ) Cn S ) )
41	23	cnrest 21089	. . . 4 |- ( ( ( f e. U. ( Xt_ ` ( X X. { S } ) ) |-> ( f ` A ) ) e. ( ( Xt_ ` ( X X. { S } ) ) Cn S ) /\ ( R Cn S ) C_ U. ( Xt_ ` ( X X. { S } ) ) ) -> ( ( f e. U. ( Xt_ ` ( X X. { S } ) ) |-> ( f ` A ) ) |` ( R Cn S ) ) e. ( ( ( Xt_ ` ( X X. { S } ) ) ↾t ( R Cn S ) ) Cn S ) )
42	40, 22, 41	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ A e. X ) -> ( ( f e. U. ( Xt_ ` ( X X. { S } ) ) |-> ( f ` A ) ) |` ( R Cn S ) ) e. ( ( ( Xt_ ` ( X X. { S } ) ) ↾t ( R Cn S ) ) Cn S ) )
43	33, 42	eqeltrrd 2702	. 2 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ A e. X ) -> ( f e. ( R Cn S ) |-> ( f ` A ) ) e. ( ( ( Xt_ ` ( X X. { S } ) ) ↾t ( R Cn S ) ) Cn S ) )
44	32, 43	sseldd 3604	1 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top /\ A e. X ) -> ( f e. ( R Cn S ) |-> ( f ` A ) ) e. ( ( S ^ko R ) Cn S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   {csn 4177   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   ↾_t crest 16081   Xt_cpt 16099   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   ^ko cxko 21364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cmp 21190  df-xko 21366

This theorem is referenced by:  cnmptkp  21483  xkofvcn  21487