Theorem cvmfolem 31261

Description: Lemma for cvmfo 31282. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvmcov.1	|- S = ( k e. J |-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } )
cvmseu.1	|- B = U. C
cvmfolem.2	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
cvmfolem	|- ( F e. ( C CovMap J ) -> F : B -onto-> X )

Distinct variable groups:   k, s, u, v, C   k, F, s, u, v   k, J, s, u, v   v, B

Allowed substitution hints:   B( u, k, s)   S( v, u, k, s)   X( v, u, k, s)

Proof of Theorem cvmfolem

Dummy variables t w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmcn 31244	. . 3 |- ( F e. ( C CovMap J ) -> F e. ( C Cn J ) )
2		cvmseu.1	. . . 4 |- B = U. C
3		cvmfolem.2	. . . 4 |- X = U. J
4	2, 3	cnf 21050	. . 3 |- ( F e. ( C Cn J ) -> F : B --> X )
5	1, 4	syl 17	. 2 |- ( F e. ( C CovMap J ) -> F : B --> X )
6		cvmcov.1	. . . . . 6 |- S = ( k e. J |-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } )
7	6, 3	cvmcov 31245	. . . . 5 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ x e. X ) -> E. z e. J ( x e. z /\ ( S ` z ) =/= (/) ) )
8	7	ex 450	. . . 4 |- ( F e. ( C CovMap J ) -> ( x e. X -> E. z e. J ( x e. z /\ ( S ` z ) =/= (/) ) ) )
9		n0 3931	. . . . . . 7 |- ( ( S ` z ) =/= (/) <-> E. w w e. ( S ` z ) )
10	6	cvmsn0 31250	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. ( S ` z ) -> w =/= (/) )
11	10	ad2antll 765	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ z e. J ) /\ ( x e. z /\ w e. ( S ` z ) ) ) -> w =/= (/) )
12		n0 3931	. . . . . . . . . . 11 |- ( w =/= (/) <-> E. t t e. w )
13	11, 12	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ z e. J ) /\ ( x e. z /\ w e. ( S ` z ) ) ) -> E. t t e. w )
14		simprlr 803	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ z e. J ) /\ ( ( x e. z /\ w e. ( S ` z ) ) /\ t e. w ) ) -> w e. ( S ` z ) )
15	6	cvmsss 31249	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w e. ( S ` z ) -> w C_ C )
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ z e. J ) /\ ( ( x e. z /\ w e. ( S ` z ) ) /\ t e. w ) ) -> w C_ C )
17		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ z e. J ) /\ ( ( x e. z /\ w e. ( S ` z ) ) /\ t e. w ) ) -> t e. w )
18	16, 17	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ z e. J ) /\ ( ( x e. z /\ w e. ( S ` z ) ) /\ t e. w ) ) -> t e. C )
19		elssuni 4467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t e. C -> t C_ U. C )
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ z e. J ) /\ ( ( x e. z /\ w e. ( S ` z ) ) /\ t e. w ) ) -> t C_ U. C )
21	20, 2	syl6sseqr 3652	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ z e. J ) /\ ( ( x e. z /\ w e. ( S ` z ) ) /\ t e. w ) ) -> t C_ B )
22		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ z e. J ) /\ ( ( x e. z /\ w e. ( S ` z ) ) /\ t e. w ) ) -> F e. ( C CovMap J ) )
23	6	cvmsf1o 31254	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ w e. ( S ` z ) /\ t e. w ) -> ( F |` t ) : t -1-1-onto-> z )
24	22, 14, 17, 23	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ z e. J ) /\ ( ( x e. z /\ w e. ( S ` z ) ) /\ t e. w ) ) -> ( F |` t ) : t -1-1-onto-> z )
25		f1ocnv 6149	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F |` t ) : t -1-1-onto-> z -> `' ( F |` t ) : z -1-1-onto-> t )
26		f1of 6137	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( `' ( F |` t ) : z -1-1-onto-> t -> `' ( F |` t ) : z --> t )
27	24, 25, 26	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ z e. J ) /\ ( ( x e. z /\ w e. ( S ` z ) ) /\ t e. w ) ) -> `' ( F |` t ) : z --> t )
28		simprll 802	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ z e. J ) /\ ( ( x e. z /\ w e. ( S ` z ) ) /\ t e. w ) ) -> x e. z )
29	27, 28	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ z e. J ) /\ ( ( x e. z /\ w e. ( S ` z ) ) /\ t e. w ) ) -> ( `' ( F |` t ) ` x ) e. t )
30	21, 29	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ z e. J ) /\ ( ( x e. z /\ w e. ( S ` z ) ) /\ t e. w ) ) -> ( `' ( F |` t ) ` x ) e. B )
31		f1ocnvfv2 6533	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F |` t ) : t -1-1-onto-> z /\ x e. z ) -> ( ( F |` t ) ` ( `' ( F |` t ) ` x ) ) = x )
32	24, 28, 31	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ z e. J ) /\ ( ( x e. z /\ w e. ( S ` z ) ) /\ t e. w ) ) -> ( ( F |` t ) ` ( `' ( F |` t ) ` x ) ) = x )
33		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( `' ( F |` t ) ` x ) e. t -> ( ( F |` t ) ` ( `' ( F |` t ) ` x ) ) = ( F ` ( `' ( F |` t ) ` x ) ) )
34	29, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ z e. J ) /\ ( ( x e. z /\ w e. ( S ` z ) ) /\ t e. w ) ) -> ( ( F |` t ) ` ( `' ( F |` t ) ` x ) ) = ( F ` ( `' ( F |` t ) ` x ) ) )
35	32, 34	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ z e. J ) /\ ( ( x e. z /\ w e. ( S ` z ) ) /\ t e. w ) ) -> x = ( F ` ( `' ( F |` t ) ` x ) ) )
36		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( `' ( F |` t ) ` x ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( `' ( F |` t ) ` x ) ) )
37	36	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( `' ( F |` t ) ` x ) -> ( x = ( F ` y ) <-> x = ( F ` ( `' ( F |` t ) ` x ) ) ) )
38	37	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( `' ( F |` t ) ` x ) e. B /\ x = ( F ` ( `' ( F |` t ) ` x ) ) ) -> E. y e. B x = ( F ` y ) )
39	30, 35, 38	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ z e. J ) /\ ( ( x e. z /\ w e. ( S ` z ) ) /\ t e. w ) ) -> E. y e. B x = ( F ` y ) )
40	39	expr 643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ z e. J ) /\ ( x e. z /\ w e. ( S ` z ) ) ) -> ( t e. w -> E. y e. B x = ( F ` y ) ) )
41	40	exlimdv 1861	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ z e. J ) /\ ( x e. z /\ w e. ( S ` z ) ) ) -> ( E. t t e. w -> E. y e. B x = ( F ` y ) ) )
42	13, 41	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ z e. J ) /\ ( x e. z /\ w e. ( S ` z ) ) ) -> E. y e. B x = ( F ` y ) )
43	42	expr 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ z e. J ) /\ x e. z ) -> ( w e. ( S ` z ) -> E. y e. B x = ( F ` y ) ) )
44	43	exlimdv 1861	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ z e. J ) /\ x e. z ) -> ( E. w w e. ( S ` z ) -> E. y e. B x = ( F ` y ) ) )
45	9, 44	syl5bi 232	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ z e. J ) /\ x e. z ) -> ( ( S ` z ) =/= (/) -> E. y e. B x = ( F ` y ) ) )
46	45	expimpd 629	. . . . 5 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ z e. J ) -> ( ( x e. z /\ ( S ` z ) =/= (/) ) -> E. y e. B x = ( F ` y ) ) )
47	46	rexlimdva 3031	. . . 4 |- ( F e. ( C CovMap J ) -> ( E. z e. J ( x e. z /\ ( S ` z ) =/= (/) ) -> E. y e. B x = ( F ` y ) ) )
48	8, 47	syld 47	. . 3 |- ( F e. ( C CovMap J ) -> ( x e. X -> E. y e. B x = ( F ` y ) ) )
49	48	ralrimiv 2965	. 2 |- ( F e. ( C CovMap J ) -> A. x e. X E. y e. B x = ( F ` y ) )
50		dffo3 6374	. 2 |- ( F : B -onto-> X <-> ( F : B --> X /\ A. x e. X E. y e. B x = ( F ` y ) ) )
51	5, 49, 50	sylanbrc 698	1 |- ( F e. ( C CovMap J ) -> F : B -onto-> X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   |` cres 5116   "cima 5117   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ↾_t crest 16081   Cn ccn 21028   Homeochmeo 21556   CovMap ccvm 31237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cn 21031  df-hmeo 21558  df-cvm 31238

This theorem is referenced by:  cvmfo  31282